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Symmetrieverhalten gebrochen-rationaler Funktionen |
Symmetrieverhalten
| Neben den Asymptoten und Polen haben gebrochen-rationale Funktionen noch weitere Eigenschaften, die das Zeichnen ihrer Graphen erleichtern.Hier behandeln wir nun zwei grundlegende Symmetrieeigenschaften, nämlich die Achsensymmetrie (Symmetrie zu x-Achse) und die Punktsymmetrie (Symmetrie zum Ursprung). |
Achsensymmetrie
 Gegeben sei die gebrochen-rationale Funktion f mit  . Die rechte Abbildung zeigt den Graphen von f. Betrachten wir die Punkte A, B und C sowie deren „Spiegelpunkte“ A', B' und C', so stellen wir fest, dass die jeweiligen y-Werte identisch, die x-Werte die jeweiligen Spiegel an der y-Achse sind. Wir können hieraus den Merksatz für die Achsensymmetrie herleiten, nämlich |
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Merksatz Achsensymmetrie
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ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle 
gilt:Punktsymmetrie
 Gegeben sei die gebrochen-rationale Funktion f mit  . Die rechte Abbildung zeigt den Graphen von f. Betrachten wir die Punkte A, B und C sowie deren „Spiegelpunkte“ A', B' und C', so stellen wir fest, dass die jeweiligen y-Werte die Spiegel an der x-Achse, die x-Werte die jeweiligen Spiegel an der y-Achse sind.Wir können hieraus den Merksatz für die Punktsymmetrie herleiten, nämlich |
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| Hinweis: Im Schulbetrieb wird eigentlich gelehrt, dass f(-x)=-f(x) ist. Die hier aufgeführte Regel mit -f(-x)=f(x) ist identisch, denn die Multiplikation von f(-x)=-f(x) mit -1 führt ja zu -f(-x)=f(x). Letztere Formel führt jedoch zu einfacheren Berechnungen, wenn Symmetrie rechnerisch nachgewiesen werden soll. |
Beispiele
Beispiel 1
Gegeben sei die ganzrationale Funktion f mit  .Prüfe auf Achsen- bzw. Punktsymmetrie. |
Lösung 1
| Wir bilden f(-x): | ||
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Auflösung der Klammern | |
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| Die Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse wegen f(-x)=f(x) | ||
Beispiel 2
Gegeben sei die ganzrationale Funktion f mit  .Prüfe auf Achsen- bzw. Punktsymmetrie. |
Lösung 2
| Wir bilden zunächst f(-x): | ||
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Auflösung der Klammern | |
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| Die Funktion f ist nicht achsensymmetrisch zur y-Achse wegen f(-x)≠f(x) | ||
| Wir bilden jetzt -f(-x): | ||
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Auflösung der Klammern | |
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| Die Funktion f ist punktsymmetrisch zum Ursprung wegen -f(-x)=f(x) | ||
| Achsensymmetrien zu anderen Achsen bzw. Punktsymmetrien zu anderen Punkten findest du im Kapitel |
| „Funktionen analysieren - Kurvendiskussion“ |
| hier im Portal. |
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