Der Definitionsbereich ist ja der Bereich aller der Zahlenwerte, die die Variable x annehmen kann. Als mathematische Schreibweise für den Definitionsbereich kennen wir das Zeichen . Bei den bislang behandelten Funktionsarten Gerade, Parabel und ganzrationalen Funktionen höheren Grades war der Definitionsbereich nicht eingeschränkt. Diese Funktionen waren auf ganz (sprich „Der Definitionsbereich von f ist x als Element der Menge der reellen Zahlen“) definiert.
Die Definitionslücke
Betrachten wir uns nun aber den Nenner q(x) der gebrochen-rationalen Funktion, so kann es durchaus vorkommen, dass ein oder gar mehrere x vorkommen, bei denen q(x) den Wert 0 annimmt. Wir erhalten in diesen Fällen somit eine Division durch 0. In der Mittelstufe haben wir gelernt, dass die Division durch 0 verboten ist. Nun, das ist nicht ganz richtig. Die Division durch 0 ist nicht verboten, sie ist nur nicht definiert. Die gesamte Infinitesimalrechnung (Differential-, Integralrechnung) beschäftigt sich im Grunde genommen mit dem Thema der Division . Tritt in der Mathematik eine Division durch 0 auf, so muss stets eine Grenzwertbetrachtung vorgenommen werden. Doch zunächst müssen wir in unserer Funktionsbetrachtung die x–Werte, die zu einer Division durch 0 führen, vom Definitionsbereich ausnehmen.
Beispiel 1
Gegeben ist die Funktion f mit . Ihr Schaubild sei K. Bestimme die Stellen, an denen f(x) nicht definiert ist. Zeichne K in ein geeignetes Koordinatensystem und markiere die nicht definierte Stelle durch eine Parallele zur y–Achse.
Lösung 1
Wir bestimmen als erstes die Stellen von x in denen der Nenner (x-2)2 gleich 0 wird und schreiben: (x-2)2=0⇒x1=2 was die einzigste Lösung dieser Gleichung darstellt. Für x1=2 wird der Nenner des Funktionsterms 0.
Wie wir aus der Grafik des Beispiels 3 erkennen, wird der Funktionswert f(x), je näher K an die Stelle x1=2 herankommt, immer größer. Wir interessieren uns jetzt, welchen Wert f(x) annimmt für x=2. Hierzu nähern wir uns dieser Stelle einmal von links und einmal von rechts über nachfolgende Wertetabelle. Annäherung von links mit 1 ≤ x < 2
x
1
1,5
1,9
1,99
1,999
1,9999
1,99999
f(x)
2
10
290
29900
2999000
299990000
30000000000
Annäherung von rechts mit 3 > x > 2
x
3
2,5
2,1
2,01
2,001
2,0001
2,000001
f(x)
2
10
290
29900
2999000
299990000
30000000000
Es gibt offensichtlich keinen exakt definierbaren Funktionswert. Je näher wir an x=2 herankommen, umso größer wird f(x), wird also unendlich groß.
Hierfür hat der Mathematiker einen speziellen Ausdruck, er spricht von einer Definitionslücke mit einer besonderen Schreibweise:
sprich: „Der Definitionsbereich von f ist x als Element der Menge der reellen Zahlen mit Ausnahme (\) von 2“. Hat eine Funktion f mehr als eine Definitionslücke, so werden die einzelnen x–Werte in der geschweiften Klammer {} der Reihe nach aufgezählt und durch Semikolon (;) getrennt.
Merksatz Definitionslücke
Eine gebrochen-rationale Funktion f ist genau dann nicht definiert, wenn der Nenner des Funktionsterms den Wert 0 (Null) annimmt. Die Funktion hat an der bzw. den Stellen dann eine Definitionslücke. Definitionslücken werden über
Der Wert, den f(x) in der/den Definitionslücke(n) eventuell annimmt, wird über eine Grenzwertbetrachtung ermittelt, indem die Funktionswerte durch Annäherung an die Definitionslücke(n) von links und von rechts festgestellt werden.
Senkrechte Asymptoten - Pole
Wie wir gesehen haben, können wir für eine Definitionslücke keinen eindeutigen Funktionswert bestimmen. Um diese Aussage noch zu präzisieren, untersuchen wir noch eine weitere, gebrochen-rationale Funktion.
Beispiel 2
Gegeben ist die Funktion f mit . Ihr Schaubild sei K. Bestimme die Stellen, an denen f(x) nicht definiert ist und ermittle die Funktionswerte nahe den Definitionslücken. Zeichne K in ein geeignetes Koordinatensystem und markiere die Definitionslücken durch eine Parallele zur y–Achse.
Lösung 2
Wir bestimmen als erstes Werte für x, für die der Nenner x2-2x gleich 0 ist: x2-2x=0 x(x-2)=0 x1=0; x2=2 Tabellarisch nähern wir uns nun den beiden Stellen und zwar einmal von links und einmal von rechts.
Für die Definitionslücke bei x=2: Wertetabelle Annäherung von links mit 1 ≤ x < 2
x
1
1,5
1,9
1,9999
1,99999
1,999999
f(x)
-2
-3,33
-15,26
-15000,25
-150000,25
-1500000,25
Annäherung von rechts mit 3 ≥ x > 2
x
3
2,5
2,1
2,0001
2,00001
2,000001
f(x)
1,33
2,8
14,76
14999,75
149999,75
1499999,75
Für die Definitionslücke bei x=0: Wertetabelle Annäherung von links mit -1 ≤ x < 0
x
-1
-0,5
-0,1
-0,0001
-0,00001
-0,000001
f(x)
0
0,4
4,29
4999,25
49999,25
499999,25
Annäherung von rechts mit 1 ≥ x > 0
x
1
0,5
0,1
0,0001
0,00001
0,000001
f(x)
-2
-2
-5,79
-500,75
-50000,75
-500000,75
Wir machen eine interessante Beobachtung: Nähern wir uns bei x=2 der Stelle von links, so läuft der Funktionswert offensichtlich gegen -∞. Nähern wir uns hingegen von rechts, so läuft der Funktionswert gegen ∞. Nähern wir uns bei x=0 der Stelle von links, so läuft der Funktionswert offensichtlich gegen ∞. Nähern wir uns hingegen von rechts, so läuft der Funktionswert gegen -∞.
Im Beispiel zuvor (3) näherte sich der Funktionswert hingegen in beiden Fällen (Annäherung von links resp. rechts) gegen ∞. Es gibt also Fälle, in denen der Funktionswert keinen Vorzeichenwechsel hat, in anderen Fällen aber einen Vorzeichenwechsel aufweist.
Die Näherungsgerade ist jedoch in beiden Fällen eine Parallele zur y-Achse im jeweiligen Abstand der Definitionslücke (in den Grafiken rot eingezeichnet). Eine Annäherungsgerade solcher Art bezeichnet der Mathematiker als „senkrechte Asymptote“ bzw. kürzer ausgedrückt als „Pol“.
Merksatz senkrechte Asymptote / Pol
Ein Grenzwert ist ein Wert, dem sich der Funktionswert einer Funktion beliebig nahe nähert, ihn jedoch nie erreicht. Nimmt eine gebrochen-rationale Funktion f in einer Definitionslücke den Grenzwert ∞ an, so hat der Graph der Funktion in der Definitionslücke eine senkrechte Asymptote. Eine senkrechte Asymptote nennen wir Pol. Wechselt das Vorzeichen des Grenzwertes ∞ bei der Annäherung an die Definitionslücke von links und von rechts sein Vorzeichen von „+“ auf „-“ oder umgekehrt, so bezeichnen wir dieses Grenzverhalten als Pol mit Vorzeichenwechsel (Pol mit VZW).
Hebbare Defintionslücken
Eine weitere Untersuchung soll zeigen, dass Definitionslücken nicht in jedem Fall einen Pol besitzen. Hierzu betrachten wir
Beispiel 3
Gegeben ist die Funktion f mit . Ihr Schaubild sei K. Bestimmedie Stellen, an denen f(x) nicht definiert ist und ermitte die Grenzwerte in den Definitionslücken. Zeichne K in ein geeignetes Koordinatensystem und markiere die Definitionslücken.
Lösung 3
Wir bestimmen als erstes die Werte für x für die der Nenner x3+2x2-11x-12 gleich 0 wird. Durch Ausprobieren haben wir einen ersten Wert x1=3 ermittelt. Eine Polynomdivision:
mit Auflösung der quadratischen Gleichung x2+5x+4=0 führt zu x2=-1 und x3=-4. Die Funktion hat also 3 Definitionslücken:
Die Ermittlung der Grenzwerte für x1=3 und x2=-1 führt zu den aus Beispiel 3 und Beispiel 4 bereits bekannten Ergebnissen. Der Graph der Funktion hat in diesen Stellen jeweils einen Pol mit Vorzeichenwechsel. Bei der Ermittlung des Grenzwertes in x3=-4 machen wir jedoch eine interessante Feststellung.
Für die Definitionslücke bei x=-4: Wertetabelle Annäherung von links mit -5 ≤ x < -4
x
-5
-4,5
-4,1
-4,01
-4,0001
-4,000001
f(x)
-0,09
-0,9502
-0,0954
-0,0953
-0,0952
-0,0952
Annäherung von rechts mit -3 ≥ x > -4
x
-3
-3,5
-3,9
-3,99
-3,9999
-3,999999
f(x)
-0,083
-0,0923
-0,095
-0,0952
-0,0952
-0,0952
Je näher wir uns der Definitionslücke von links und rechts nähern, umso konstanter wird der ermittelte Funktionswert, er läuft auf einen reell existierenden Wert zu und nicht etwa auf den Wert ∞. Wir müssen somit schreiben:
Unsere Funktion ist jedoch nach wie vor an der Stelle x=-4 nicht definiert. Da der Grenzwert jedoch existiert, spricht der Mathematiker in diesem Fall von einer „hebbaren Definitionslücke“. Die Funktion f kann an der Stelle x=-4stetig fortgesetzt werden.
Lösungsgrafik zu Beispiel 3, hebbare Definitionslücke.
Merksatz hebbare Definitionslücke
Nimmt der Grenzwert einer gebrochen-rationalen Funktion f in einer Definitionslücke einen reell existierenden Wert an, so ist der Graph der Funktion in dieser Definitionslücke stetig fortsetzbar. Die Definitionslücke selbst ist eine hebbare Definitionslücke.
Schnelles Erkennen einer hebbaren Definitionslücke
Eine hebbare Definitionslücke ist auch ohne Aufstellung einer Wertetabelle wie im Beispiel 3 möglich. Haben wir z. B. alle Definitionslücken ermittelt, dann setzen wir die ermittelten x-Werte in den Zähler der gebrochen-rationalen Funktion ein. Wird dabei der Zähler ebenfalls Null, wir erhalten also eine Division , dann ist die Definitionslücke eine hebbare Definitionslücke.
Beispiel 4
Die ermittelten Definitionslücken der Funktion f mit
sind x1=3; x2=-1; x3=-4. Welche dieser Stellen stellt eine hebbare Definitionslücke dar.
Lösung 4
Die Stelle x3=-4 ist eine hebbare Definitionslücke.
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. Bei den bislang behandelten Funktionsarten Gerade, Parabel und ganzrationalen Funktionen höheren Grades war der Definitionsbereich nicht eingeschränkt. Diese Funktionen waren auf ganz 
(sprich „Der Definitionsbereich von f ist x als Element der Menge der reellen Zahlen“) definiert.
. Tritt in der Mathematik eine Division durch 0 auf, so muss stets eine Grenzwertbetrachtung vorgenommen werden. 
ausnehmen.
. Ihr Schaubild sei K. Bestimme die Stellen, an denen f(x) nicht definiert ist. Zeichne K in ein geeignetes Koordinatensystem und markiere die nicht definierte Stelle durch eine Parallele zur y–Achse.
. Ihr Schaubild sei K. Bestimme die Stellen, an denen f(x) nicht definiert ist und ermittle die Funktionswerte nahe den Definitionslücken. Zeichne K in ein geeignetes Koordinatensystem und markiere die Definitionslücken durch eine Parallele zur y–Achse.
Wir bestimmen als erstes Werte für x, für die der Nenner x2-2x gleich 0 ist:
. Ihr Schaubild sei K. Bestimmedie Stellen, an denen f(x) nicht definiert ist und ermitte die Grenzwerte in den Definitionslücken. Zeichne K in ein geeignetes Koordinatensystem und markiere die Definitionslücken.
, dann ist die Definitionslücke eine hebbare Definitionslücke.
