Die Ermittlung der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen von gebrochen-rationale Funktionen erfolgt wie bei allen anderen Funktionen auch.
Schnittpunkte mit der x-Achse
Zur Ermittlung der Schnittpunkte mit der x–Achse wird der Funktionsterm auf 0 gesetzt und anschließend nach x aufgelöst, also f(x)=0. Dabei ist nur der Zählerterm zu berücksichtigen, da der Nenner-Term ja nicht Null werden kann. Sind der / die Schnittpunkte gefunden, sind sie noch gegen den Definitionsbereich zu prüfen.
Beispiel 1
Gegeben ist die Funktion f mit . Ihr Schaubild sei K. Bestimme die Schnittpunkte von K mit der x–Achse.
Lösung 1
Die Auflösung dieser Gleichung führt zu einem einzigen Wert x1=-1,43.
Zur Beachtung:
Die Funktion besitzt an der Stelle x1=-1,43 keinen Pol und keine hebbare Definitionslücke. Diese Stelle ist somit ein echter Schnittpunkt mit der x–Achse.
Schnittpunkt mit der y-Achse
Zur Ermittlung des Schnittpunkts mit der y–Achse muss f(0) berechnet werden.
Beispiel 2
Gegeben ist die Funktion f mit . Ihr Schaubild sei K. Bestimme den Schnittpunkt von K mit der y–Achse.
Lösung 2
Der Graph der Funktion schneidet die y-Achse in Sy (0|-2).
Schnittpunkte zweier Funktionen
Schnittpunkte zweier gebrochen-rationaler Funktionen werden bestimmt, wie bei allen anderen Funktionen auch, nämlich durch Gleichsetzung der beiden Funktionsterme mit anschließender Auflösung nach x. Die zugehörige(n) y–Koordinate(n) erhalten wir dann durch Einsetzen der ermittelten x–Werte in eine der beiden Ausgangsgleichungen. Bevor jedoch mit der Ermittlung der Schnittpunkte begonnen wird, muss noch der gemeinsame Definitionsbereich der beiden Ausgangsfunktionen untersucht und bestimmt werden.
Beispiel 3
Gegeben sind die Funktion f und h mit und . Ihre Schaubilder seien Kf und Kh. Bestimme die Schnittpunkte von Kf und Kh.
Lösung 3
Schnittpunkte mit .
Hauptnennerbestimmung:
Nenner 1:
x-2
Nenner 2:
2
Nenner 3:
x+1
Hauptnenner:
2∙(x-2)∙(x+1)
Definitionsbereich: Berechnung der x-Koordinaten
∙2∙(x-2)∙(x+1)
Satz vom Nullprodukt
Beide Lösungen sind gültige Werte von , somit Berechnung der y–Koordinaten:
Die Schnittpunkte sind
Beispiel 4
Gegeben sind die Funktion f und h mit und . Ihre Schaubilder seien Kf und Kh. Bestimme die Schnittpunkte von Kf und Kh.
Lösung 4
Schnittpunkte mit .
Hauptnennerbestimmung:
Nenner 1:
4x-10
2⋅(2x-5)
Nenner 2:
5
Nenner 3:
10x-25
5⋅(2x-5)
Nenner 4:
6x-15
3⋅(2x-5)
Hauptnenner:
2∙3⋅5⋅(2x-5)
Definitionsbereich: Berechnung der x-Koordinaten
∙2∙3⋅5⋅(2x-5)
45x+15-96x+240-42x-30+50x-10=0
-43x+215=0
Die Lösung ist gültiger Wert von , somit Berechnung der y–Koordinate:
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. Ihr Schaubild sei K. Bestimme die Schnittpunkte von K mit der x–Achse.
und 
. Ihre Schaubilder seien Kf und Kh. 
.
, somit
und 
. Ihre Schaubilder seien Kf und Kh. Bestimme die Schnittpunkte von Kf und Kh.
