Funktionsklassen Gymn. (Kl. 9

Der Begriff Funktion

Um uns klar zu machen, was eine Funktion (lateinisch functio) ist, betrachten wir uns die Gegenüberstellung nachfolgender Situationen.

Aus der gemessenen Temperatur zwischen 0° C und 20° C lässt sich die Tiefe des Gewässers an jeder Stelle eindeutig angeben. (Graphik W0002 im WIKI der Funktionsklassen Bild 1)/© by Fit-in-Mathe-Online

Aus der gemessenen Temperatur zwischen 0° C und 20° C lässt sich die Tiefe des Gewässers an jeder Stelle eindeutig angeben. So gehört beispielsweise in obiger Grafik zur Temperatur 10° C die Gewässertiefe etwa 38 m.
Die Zuordnung Temperatur ⟼ Tiefe (des Gewässers) ist eindeutig und daher eine Funktion.

Aus der Temperatur können wir die zugehörige Höhe in der Atmosphäre nicht ermitteln. Wir entnehmen obiger Grafik, dass z.B. die Temperatur -50 °C in der oberen Troposphäre (etwa 10 km), in der mittlerem Stratosphäre (etwa 30 km), zwischen mittlerer und oberer Mesosphäre (etwa 70 km) und in der oberen Thermosphäre (etwa 110 km) auftritt.
Die Zuordnung Temperatur ⟼ Höhe (in der Atmosphäre) ist nicht eindeutig und daher keine Funktion.

Diese Erkenntnis führt uns zu folgendem

Merksatz Begriff der Funktion

Eine Funktion f ordnet jedem x-Wert genau einen und nur einen y-Wert zu.
Sie wird meistens angegeben durch einen Funktionsterm f(x) und die Definitionsmenge $Fit in Mathe Latex: 4d0c3b475e7dfa11051bb542ff34789f.png$ für die zulässigen x-Werte.
Die Menge aller möglichen y-Werte bezeichnen wir mit Wertemenge von f und bezeichnen diese mit $Fit in Mathe Latex: 3fbc13bdf21f2cad32ce8e1f791b3fb5.png$ .

Darstellungsformen

Nachdem wir nun festgelegt haben, was eine Funktion überhaupt ist, müssen wir uns über die Darstellungsformen unterhalten. Hierzu kennt der Mathematiker vier Arten. Eine dieser Arten haben wir bereits in der Mittelstufe kennengelernt, nämlich die Wertetabelle.

Wertetabelle
Einer Reihe von x-Werten wird in einer Tabelle deren zugehörigen y-Werte zugeordnet, wie nachfolgendes Beispiel zeigt.

	x	1	2	3	4	5	6	7	8
	y	1	0,9	0,75	0,74	1	2	4	9

Dann gibt es als nächste Bezeichnungsform die
Funktionsvorschrift
f: x ⟼ 3x²+5
(Sprich der Funktionsname f bildet das Element x auf den Funktionsterm 3x²+5 ab)

Als weitere Bezeichnungsform ist die Funktionsgleichung zu nennen.
Funktionsgleichung
f(x) = 3x²+5
(Sprich der Funktionswert f(x)=y errechnet sich aus dem Funktionsterm 3x²+5)

Und als bekannteste (vierte) und wohl auch einsichtigste Darstellungsform ist der Graph einer Funktion zu nennen. (Graphik W0003 im WIKI der Funktionsklassen Bild 3)/© by Fit-in-Mathe-Online

Und als bekannteste (vierte) und wohl auch einsichtigste Darstellungsform ist der Graph einer Funktion zu nennen.
Graph von f
Der Graph von f besteht aus allen Punkten P(x|y), deren Koordinaten die Gleichung y=f(x) erfüllen (Punktprobe).
Die Menge aller möglichen y-Werte heißt Wertemenge von f und wird mit $Fit in Mathe Latex: aca581976128b68f9119e824d2c31d03.png$ bezeichnet.
Die Menge aller möglichen x-Werte heißt Definitionsmenge von f und wird mit $Fit in Mathe Latex: 1bb39a86ffd1ba4802f0ac7cd1920e41.png$ bezeichnet.

Beispiele

Beispiel 1

Definitionsmenge und Wertemenge
Bestimme die Definitions- und Wertemenge der Funktion f mit f(x)=x²+1.

Lösung 1

Beispiel 2

Bezeichnungen und Symbole Formuliere mithilfe mathematischer Symbole in Worten
a)	Der Funktionswert von f an der Stelle 5 ist 7.
b)	Die Funktion g ordnet einer Zahl das Doppelte zu.
c)	Die Definitionsmenge von h besteht aus allen positiven Zahlen.
d)	g und h haben an der Stelle -1 verschiedene Werte.
e)	An der Stelle a ist der Funktionswert von f kleiner als der Funktionswert von g.

Lösung 2

Beispiel 3

Wertetabelle, Graph, Definitionsmenge, Wertemenge Gegeben ist die Funktion f mit $Fit in Mathe Latex: 072f006bf5b417b3a240c07c5ed1068e.png$ .
a)	Bestimme die maximale Definitionsmenge von f.
b)	Berechne den Funktionswert an der Stelle x₁=-0,5.
c)	Zeichne den Graphen von f mithilfe einer Wertetabelle im Intervall [-3;4]. Runde die x-Werte auf eine Nachkommastelle.
d)	Gib die Wertmenge von f an.

Lösung 3

Funktionsklassen im Einzelnen

Betrachten wir uns nun die einzelnen Funktionsklassen.

1. Lineare Funktionen

Lineare Funktionen sind Geraden. Aus früheren Klassenstufen kennen wir schon deren allgemeine Form mit y=mx+c. Der Graph linearer Funktionen ist eine Gerade.

In der Abbildung erkennen wir Geraden mit positiver Steigung, mit negativer Steigung und mit der Steigung gleich Null. Geraden mit der Steigung Null verlaufen parallel zur x-Achse. (Graphik W0006 im WIKI der Funktionsklassen Bild 6)/© by Fit-in-Mathe-Online

In der seitlichen Abbildung erkennen wir Geraden mit positiver Steigung, mit negativer Steigung und mit der Steigung gleich Null. Geraden mit der Steigung Null verlaufen parallel zur x-Achse.
Eine Sonderform nimmt die Gleichung einer parallelen Geraden zur y-Achse ein. Diese lautet x=c mit $Fit in Mathe Latex: d012134986496386bae673bd6f53875d.png$ , c gibt dabei den Abstand der Geraden zur y-Achse an.
Aus den zuvor aufgeführten Bedingungen ergibt sich für die x-Achse selbst die Funktionsgleichung y=0 und für die y-Achse die Gleichung x=0. (Beachte zum zuletzt Gesagten: wir sprechen bei x=c nicht von einer Funktionsgleichung, da x=c keine Funktion ist, denn hier wird ja einem einzelnen Wert x=c eine unendliche Anzahl von y-Werten zugeordnet.)
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Ganzrationale Funktionen sind zusammengesetzte Funktionen, deren einzelne Glieder wiederum aus Potenzfunktionen mit ganzzahlig positivem Exponenten bestehen. Die allgemeinen Form einer Ganzrationalen Funktion lautet:
f(x)=a_n⋅xⁿ+a_n-1⋅x^n-1+a_n-2⋅x^n-2+...+a₁⋅x+a₀.
n ist höchste Potenz, n-1 ist die um 1 verminderte höchste Potenz, n-2 die um 2 verminderte höchste Potenz usw. bis zur Potenz 1 bei a₁x. Am Ende der Funktionsgleichung steht dann das absolute Glied a₀. Die a-Werte in der Gleichung werden als Koeffizienten bezeichnet. Alle a sind Element von $Fit in Mathe Latex: a5b7a189c728560bdaf3713d33b15508.png$ . Die Indices von a_n, a_(n-1), a_(n-2) usw. verweisen auf die Teilfunktion mit dem entsprechenden n als Exponenten.

Entsprechend der höchsten Potenz n von x wird den ganzrationalen Funktionen ein Grad zugesprochen. Ist n=3, so handelt es sich um eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Ist n=4, so handelt es sich um eine ganzrationale Funktion 4. Grades. Ist n=5, so handelt es sich … Ganzrationale Funktionen werden auch Polynome oder (seltener für Funktionen mit einem Grad größer n=2) Parabeln genannt. Auch die bereits behandelten lineare Funktionen g mit g(x)=mx+c und die quadratischen Funktionen p mit p(x)=ax²+bx+c zählen zu den ganzrationalen Funktionen. Erstere ist vom Grad 1, letztere vom Grad 2.
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Die Funktionsklassen der Differenzialrechnung