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Die Ableitung der Logarithmusfunktion (Umkehrregel) |
Definition des Begriffs Ableitung
Merksatz Ableitung
Die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x0 ist gleich der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt (x|f(x)). Sie entsteht über den Grenzwert des Differenzenquotienten  für Δx⟶0. |
Logarithmusfunktion (Umkehrregel) - Einleitung
| Die Umkehrregel ist die letzte der Ableitungsregeln, die wir kennen lernen. Im Kapitel „Analysis → Differenzialrechnung → Funktionsklassen → Umkehrfunktionen“ lernen wir, was eine Umkehrfunktion ist, nämlich die Spiegelung einer ausschließlich streng monoton steigenden bzw. streng monoton fallenden Funktion an der 1. Winkelhalbierenden. Selbstverständlich haben solche Funktionen ebenfalls einen Differenzialquotienten und damit eine Ableitung. In diesem Kapitel lernen wir die Ableitungsregel für Umkehrfunktionen kennen. |
Ableitung der Umkehrfunktion
| Um die Ableitung der Umkehrfunktion kennenzulernen, kannst du dir den nachfolgenden Video betrachten oder aber du liest dir die verbale Beschreibung im Einzelnen durch. |
Video zur Umkehrregel(Laufzeit ca. 3,5 Minuten)Umkehrfunktion und Logarithmus (verbal)
Wir betrachten uns hierzu die Funktion f mit f(x)=ln(x).
Wie lautet die erste Ableitung f'(x)? Die Umkehrfunktion des Logarithmus ist ja die Exponentialfunktion bzw. umgekehrt, die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion. Mit f(x)=ln(x) ist f-1(x)=ex deren Umkehrfunktion (beachte, dass die Schreibweise für die Umkehrfunktion der Ausdruck f-1 ist). Für f-1(x)=ex dürfen wir auch schreiben g(y)=ey. Die nachfolgende Abbildung zeigt die Graphen F und F-1 der beiden Funktionen f und f-1.  In der Grafik erkennen wir, dass die Steigung der Tangente an F-1 sich aus  bildet, die Steigung der Tangente an F aus  . Nun sind die Strecken  und  sowie  und  gleich lang. Mit anderen Worten, die Steigung der Tangente an F-1 ist gleich der reziproken Steigung der Tangente an F. Damit gilt: Wegen  ist  .Da jedoch f(x)=y=ln(x) ist, ist  .Betrachten wir nun die Funktion des allgemeinen Logarithmus f mit f(x)=loga(x). Gemäß den Logarithmusgesetzen lässt sich f(x)=loga(x) umformen zu  . Da wir nun aber die Ableitung von ln(x) kennen, leiten wir daraus die Ableitung von loga(x) ab mit: .Andere Ableitungen mit der Umkehrregel
Zwar lassen sich auch andere Umkehrfunktionen als die Logarithmusfunktionen mit der Umkehrregel ableiten, dies ist jedoch nur im universitären Bereich von Interesse, teilweise umständlich und hier nur der Vollständigkeit halber aufgeführt.
Für die Funktion f mit  ist f-1(x)=x2+2 wobei f-1(x) auch als g(y)=y2+2 geschrieben werden kann. Nun gilt genau wie bei der Logarithmusfunktion  und  bzw.  .Da aber  ist, ist  .Dies ist ein recht umständlicher Weg, denn  kann zu  umgeschrieben werden und damit mit der uns bereits bekannten Potenzregel abgeleitet werden zu  .Für die Ableitung der Umkehrfunktionen von sin, cos und tan wird ebenfalls die Umkehrregel benötigt. Betrachten wir die Umkehrfunktion f der sin-Funktion mit  . Ihre Umkehrfunktion lautet f-1(x)=sin(x) bzw. g(y)=sin(y). Mit erhalten wir  . Für den relevanten Wertebereich gilt jedoch  . Wir können den Nenner der Ableitung somit umschreiben: , womit wir die endgültige Ableitung von arcsin(x) erhalten haben.Für die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen gilt:    Auch diese Auflistung dient lediglich der Vollständigkeit. Die Umkehrregel ist für uns somit nur von Interesse für die Ableitung der Logarithmusfunktion und wir merken uns: |
Merksatz Ableitung der Logarithmusfunktion (Umkehrregel)
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| Ist x=g(y)die Umkehrfunktion von y=f(x), so gilt . Die Ableitung der Logarithmusfunktion mit f(x)=ln(x) lautet  .Die Ableitung der Logarithmusfunktion mit f(x)=loga(x) lautet . |
Ableitung Logarithmusfunktion (Umkehrregel) Aufgabenblatt Level 1/Blatt 1  20 Aufgaben im Blatt |
| Ableitung Logarithmusfunktion (Umkehrregel) Aufgabenblatt Level 1/Blatt 2 34 Aufgaben im Blatt |
| Ableitung Logarithmusfunktion (Umkehrregel) Aufgabenblatt Level 2/Blatt 1 20 Aufgaben im Blatt |
| Ableitung Logarithmusfunktion (Umkehrregel) Aufgabenblatt Level 2/Blatt 2 20 Aufgaben im Blatt |
| Ableitung Logarithmusfunktion (Umkehrregel) Aufgabenblatt Level 3/Blatt 1 2 Aufgaben im Blatt |
