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Differenzialrechnung - Differenzierbarkeit und Stetigkeit |
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Differenzierbarkeit und Stetigkeit - Einführung
| Die beiden Begriffe „Differenzierbarkeit“ und „Stetigkeit“ sind wesentliche Begriffe der Analysis. In diesem Kapitel lernen wir die beiden Begriffe kennen und wie wir damit umgehen müssen. Zum einen kannst du dir dies über den nachfolgenden Video betrachten (Laufzeit ca. 15 Minuten), oder aber du liest dir die verbale Beschreibung im Einzelnen durch. |
Video zur Differenzierbarkeit und Stetigkeit (Laufzeit ca. 15 Minuten)
Regeln und Beispiele
Stetigkeit
| Zunächst einmal eine ganz anschauliche Erläuterung: Eine Funktion f heißt dann in einem Intervall I=[a;b] stetig, wenn man den dazugehörigen Graphen vom linken Intervallpunkt bis zum rechten Intervallpunkt zeichnen kann, ohne dabei den Zeichenstift absetzen zu müssen. Anders ausgedrückt: Wenn sich alle Punkte des Graphen eine Funktion f innerhalb des Intervalls I=[a;b] nahtlos aneinanderfügen, ohne dass sich irgendwelche Sprünge ergeben, dann ist die Funktion f im Intervall I=[a;b] stetig. Beispiel 1: |
 Wir betrachten die abschnittsweise definierte Funktion f mit An den Stellen x1=-2 und x2=2 weist der Graph von f Sprünge auf. An diesen Stellen ist f unstetig. |
| Beispiel 2: |
Betrachten wir die uns bekannten Funktionen, wie z. B. die Potenzfunktionen, die ganzrationalen Funktionen, Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen usw. usw., stellen wir fest, dass diese innerhalb ihres Definitionsbereiches  alle stetig sind, da sie an keiner Stelle x0 einen Sprung aufweisen.   |
Differenzierbarkeit
Im Kapitel „Vom Differenzenquotienten zur Ableitung“ haben wir kennengelernt, dass die Begriffe Differenzialquotient und Ableitung denselben Umstand beschreiben, nämlich die Steigung der Tangente in einem bestimmten Punkt des Graphen einer Funktion f. Demzufolge ist eine Funktion f an der Stelle x0 nur dann differenzierbar, wenn eine eindeutige Steigung existiert.Eine wesentliche Bedingung für die Differenzierbarkeit einer Funktion f an der Stelle x0 ist (folgerichtig aus der Stetigkeit hergeleitet): Die Funktion muss an der Stelle x0 stetig sein. Diese Forderung alleine reicht aber nicht aus, wie folgendes Beispiel zeigt: Beispiel 3: |
 Wir betrachten die Betragsfunktion f mit f(x)=|x2-1|.Im Punkt P(x0|f(x0)) existiert keine eindeutige Tangente, denn:  und  .Der Graph der Funktion hat in x0 keinen Sprung, ist also stetig, weist aber in x0 zwei Tangenten auf. Das bedeutet, die Ableitungsfunktion ist an der Stelle nicht eindeutig, die Funktion ist in dieser Stelle nicht differenzierbar. |
| Formulieren wir diese Erkenntnis anschaulich: Stellen des Graphen einer Funktion f, die Spitzen, die Knicke besitzen, sind an dieser Stelle nicht differenzierbar. Umgekehrt bedeutet das für die Stetigkeit: Ist eine Funktion an der Stelle x0 differenzierbar, dann ist sie dort auch stetig. |
Differenzierbarkeit und Stetigkeit Level 1 / Blatt 1  12 Aufgaben im Blatt |
| Differenzierbarkeit und Stetigkeit Level 1 / Blatt 2 4 Aufgaben im Blatt |
| Differenzierbarkeit und Stetigkeit Level 2 / Blatt 1 4 Aufgaben im Blatt |
| Differenzierbarkeit und Stetigkeit Level 2 / Blatt 2 8 Aufgaben im Blatt |
| Differenzierbarkeit und Stetigkeit Level 2 / Blatt 3 8 Aufgaben im Blatt |
| Differenzierbarkeit und Stetigkeit Level 3 / Blatt 1 9 Aufgaben im Blatt |
| Differenzierbarkeit und Stetigkeit Level 3 / Blatt 2 13 Aufgaben im Blatt |
