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Ableitungen - Summenregel und Differenzregel |
Definition des Begriffs Ableitung
Merksatz Ableitung
Die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x0 ist gleich der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt (x|f(x)). Sie entsteht über den Grenzwert des Differenzenquotienten  für Δx⟶0. |
Summen- bzw. Differenzregel - Einleitung
| Mit der Konstanten- Faktor- und Potenzregel haben wir die Basisableitungen kennengelernt. Jetzt geht es darum, mit diesem Wissen auch Ableitungen von Funktionen bilden zu können, die sich additiv bzw. subtraktiv aus einzelnen Gliedern zusammensetzen. Um die Summen- bzw. Differenzregel kennen zu lernen, kannst du dir den folgenden Video betrachten, oder aber du liest dir die verbalen Beschreibungen im Einzelnen durch. |
Video zur Summen- bzw. Differenzregel (Laufzeit ca. 3 Minuten)
Die Summenregel
| Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x)=ax5+cx3+dx+e. Wie lautet die erste Ableitung ? Wir dürfen hier die Funktionsgleichung in Unterfunktionsgleichungen aufteilen mit u(x)=ax5, v(x)=cx3, w(x)=dx und t(x)=e. Somit ist f(x)=u(x)+v(x)+w(x)+t(x). Wir leiten nun alle einzelnen Glieder der Funktionsgleichung nach den bislang gelernten Regeln ab und erhalten dadurch f'(x). |
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| Die Ableitung der gegebenen Funktion ist damit f'(x)=5ax4+3cx2+d. |
Die Differenzregel
| Da die Differenz nichts anderes ist als die Umkehrung der Addition, gilt die Differenzregel als Umkehrregel der Additionsregel. Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x)=-ax5-cx3-dx-e. u(x)=-ax5 abgeleitet nach der Faktor-/Potenzregel ergibt u'(x)=-5ax4 v(x)=-cx3 abgeleitet nach der Faktor-/Potenzregel ergibt v'(x)=-3cx2 w(x)=-dx abgeleitet nach der Faktor-/Potenzregel ergibt w'(x)=-d t(x)=-e abgeleitet nach der Konstantenregel ergibt t'(x)=0 Die Ableitung der gegebenen Funktion ist damit f'(x)=-5ax4-3cx2-d. |
Merksatz Summen- bzw. Differenzregel
{snippet snippet-aufgabenblatt-level}
| Die Summen- bzw. Differenzregel lautet: Sind zwei (oder mehr) Funktion u und v (und w) in x0 differenzierbar, so ist an dieser Stelle auch die Summen- bzw. Differenzfunktion f mit |
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| f(x)=±u(x)±v(x)±(w(x)±...) | ||
| differenzierbar. Es gilt: | ||
| f'(x)=±u'(x)±v'(x)±(w'(x)±...). |
Summen- bzw. Differenzregel Aufgabenblatt Level 1 / Blatt 1  21 Aufgaben im Blatt |
| Summen- bzw. Differenzregel Aufgabenblatt Level 1 / Blatt 2 27 Aufgaben im Blatt |
| Summen- bzw. Differenzregel Aufgabenblatt Level 1 / Blatt 3 64 Aufgaben im Blatt |
| Summen- bzw. Differenzregel Aufgabenblatt Level 2 / Blatt 1 21 Aufgaben im Blatt |
| Summen- bzw. Differenzregel Aufgabenblatt Level 2 / Blatt 2 17 Aufgaben im Blatt |
| Summen- bzw. Differenzregel Aufgabenblatt Level 2 / Blatt 3 18 Aufgaben im Blatt |
| Summen- bzw. Differenzregel Aufgabenblatt Level 3 / Blatt 1 16 Aufgaben im Blatt |
| Summen- bzw. Differenzregel Aufgabenblatt Level 3 / Blatt 2 17 Aufgaben im Blatt |
| Summen- bzw. Differenzregel Aufgabenblatt Level 3 / Blatt 3 9 Aufgaben im Blatt |
| Summen- bzw. Differenzregel Aufgabenblatt Level 4 / Blatt 1 1 Aufgabe im Blatt |
