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Ableitungen - trigonometrische Funktionen |
Definition des Begriffs Ableitung
Merksatz Ableitung
Die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x0 ist gleich der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt (x|f(x)). Sie entsteht über den Grenzwert des Differenzenquotienten  für Δx⟶0. |
Ableitung trigonometrischer Funktionen - Einleitung
| Die trigonometrischen Funktionen sin, cos und tan (cot) haben eigene Regeln bezgl. ihrer Ableitungen. Im Folgenden lernen wir diese Ableitungsregeln kennen. Um die Ableitung der Sinusfunktion kennenzulernen, kannst du dir den nachfolgenden Video betrachten oder aber du liest dir die verbale Beschreibung im Einzelnen durch. |
Video zur Ableitung der sin-Funktion (Laufzeit ca. 5,2 Minuten)
Regeln und Beispiele
Ableitung der sin-Funktion
https://www.fit-in-mathe-online.de/administrator/index.php?option=com_content&view=article&layout=edit&id=3833#
Gegeben ist die Funkionsgleichung sin(x). Wie bei den anderen Funktionen auch, bilden wir den Differenzenquotionten  entsprechend der  -Methode, wie wir dies in den anderen Kapiteln auch kennengelernt haben. Zunächst die Steigung der Sekante durch die Punkte B und B'.   Die Sekante durch B und B' hat die Steigung .Nun verkleinern wir h so lange, bis der Punkt A mit dem Punkt A' und der Punkt B mit dem Punkt B' zusammenfällt, also h gleich Null ist. Zur Untersuchung des  müssen wir zunächst noch ein paar Umformungen vornehmen. Über das Additionstheoremsin(α)-sin(β)=  erhalten wir  Damit haben wir:  . Wir erweitern diesen Bruch mit  und erhalten:  Es erfolgt nun der Nachweis, dass ist. Hierzu betrachten wir uns die Situation am Einheitskreis.Nach den trigonometrischen Funktionen gilt:  . Dieser Wert liegt auf der Sinuskurve im Punkt  .Mit kleiner werdendem gilt für:  . Dieser Wert liegt auf der Sinuskurve im Punkt  .Mit  wird  immer kleiner und damit wandert  gegen den Ursprung.Da dadurch auch  immer kleiner wird, streben sowohl als auch  demselben Wert entgegen, sodass der Quotient aus und gegen  strebt. Somit ist bewiesen: die Ableitung der Funktion  mit  hat die Funktionsgleichung  |
Ableitung der cos-Funktion
| Auf ähnliche Art und Weise erfolgt der Nachweis der Ableitung der Funktion f mit f(x)=cos(x). Wir betrachten uns dies nicht im Detail, sondern merken uns nur: Die Ableitung der Funktion f mit f(x)=cos(x) hat die Funktionsgleichung f'(x)=-sin(x). |
Ableitung der tan-Funktion
Nachdem wir nun die Ableitungen der sin- und cos-Funktion kennen, ermitteln wir die Ableitung der tan-Funktion aus der Definition des tan, nämlich: Der folgende Nachweis greift auf die Quotientenregel der Ableitungen zurück, die da lautet: Die Ableitung einer Funktion  mit  ist Mit  gilt:u(x)=sin(x) u'(x)=cos(x) v(x)=cos(x) v'(x)=-sin(x) und damit:  .Wegen sin2(x)+cos2(x)=1 gilt weiterhin  Wegen der Umformung von  gilt aber auch: . |
Ableitung der cot-Funktion
Über die Definition des cot, nämlich: und der Quotientenregel erhalten wir: u(x)=cos(x) u'(x)=-sin(x) v(x)=sin(x) v'(x)=cos(x) und damit:  ,alternativ  . |
Höhere Ableitungen von sin und cos
Mit diesen Ableitungsregeln können wir jedoch nur die Basisfunktionen in der Form a⋅sin(x)+d, a⋅cos(x)+d bzw. a⋅tan(x)+d ableiten, nicht jedoch die allgemeine Form der trigonometrischen Funktionen  ,  bzw.  und auch keine mit anderen Funktionstypen zusammengesetzte Funktionen wie etwa  oder gar  ableiten. Für solche Ableitungen benötigen wir zusätzliche Regeln wie etwa die Produkt- und Quotientenregel sowie die Kettenregel. Wie diese im Einzelnen angewandt werden, kannst du dir in den nachfolgenden Videos ansehen oder aber du schaust dir die aufgelisteten Beispiele im Einzelnen an. |
Video 1 zur Ableitung höherer sin-Funktionen (Laufzeit ca. 3,4 Minuten)
Video 2 zur Ableitung höherer sin-Funktionen (Laufzeit ca. 3 Minuten)
Video 3 zur Ableitung von sin2(x) (Laufzeit ca. 3 Minuten)
Beispiele
Beispiel 1
| f mit f(x)=sin(2x) |
Lösung 1
| f'(x)=cos(2x)⋅2=2cos(2x) | | | {snippet tooltip-kettenregel} |
Beispiel 2
f mit  |
Lösung 2
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| | {snippet tooltip-kettenregel} |
Beispiel 3
| f mit f(x)=sin(x)⋅cos(x) |
Lösung 3
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| | {snippet tooltip-produktregel} |
 f'(x)=cos(x)⋅cos(x)-sin(x)⋅sin(x)=cos2(x)-sin2(x) |
Beispiel 4
| f mit f(x)=sin2(x) |
Lösung 4
| f'(x)=2sin(x)cos(x) | | | {snippet tooltip-kettenregel} |
Beispiel 5
| f mit f(x)=20sin(x2-1) |
Lösung 5
| f'(x)=20cos(x2-1)⋅2x=40x⋅cos(x2-1) | | | {snippet tooltip-kettenregel} |
Beispiel 6
| Leite f mit f(x)=3cos(x2) zweimal ab. |
Lösung 6
| f'(x)=-3sin(x2)⋅2x=-6x⋅sin(x2) | | | {snippet tooltip-kettenregel} |
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| | {snippet tooltip-produktregel} |
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| | für 2. |
| f''(x)=-6sin(x2)-6x⋅2x⋅cos(x2) =-6sin(x2)-12x2⋅cos(x2) |
| | Ableitung |
Beispiel 7
 mit  |
Lösung 7
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| | {snippet tooltip-quotientenregel} |
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Die Ableitungsregeln für sin und cos.
Merksatz Die Ableitungen von sin und cos
Die Ableitung von:
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Ableitung trigonometrische Funktionen Aufgabenblatt Level 1/Blatt 1  25 Aufgaben im Blatt |
| Ableitung trigonometrische Funktionen Aufgabenblatt Level 2/Blatt 1 30 Aufgaben im Blatt |
| Ableitung trigonometrische Funktionen Aufgabenblatt Level 2/Blatt 2 24 Aufgaben im Blatt |
| Ableitung trigonometrische Funktionen Aufgabenblatt Level 3/Blatt 1 15 Aufgaben im Blatt |
| Ableitung trigonometrische Funktionen Aufgabenblatt Level 3/Blatt 2 14 Aufgaben im Blatt |
