Grafisches Differenzieren

Steigung in einem bestimmten Punkt

Hierzu müssen wir in dem bestimmten Punkt zeichnerisch eine Tangente an die zu untersuchende Kurve legen, wie in der nachfolgenden Grafik dargestellt.
WIKI Grafisches Differenzieren Graphik 1 / © by Fit-in-Mathe-Online.de

WIKI Grafisches Differenzieren Graphik 1 / © by Fit-in-Mathe-Online.de

Wir wollen die Steigung der Kurve, deren Funktions-gleichung wir nicht kennen, an der Stelle x₀=-3 bestimmen. Wir tragen den Punkt P ein und stellen fest, dass der zugehörige y-Wert gleich -4 ist. Jetzt zeichnen wir eine Tangente an die Kurve im Punkt P(-3|-4). Als nächstes suchen wir auf der eingezeichneten Tangente einen weiteren, gut ablesbaren Punkt und stellen fest, dass dieser Punkt bei Q(-2|2) liegt.
Wir tragen an die Tangente ein Steigungsdreieck ein (in obiger Grafik grün gezeichnet) und erhalten damit die Differenz Δx der x-Koordinaten und Δy der y-Koordinaten von P und Q.
Zum Schluss berechnen wir die Steigung, indem wir Δy/Δx bilden. Im Beispiel erhalten wir den Wert 6. Also ist die Steigung m der Tangente gleich 6 und damit die Steigung f'(-3) der Kurve ebenfalls 6.

WIKI Grafisches Differenzieren Graphik 2 / © by Fit-in-Mathe-Online.de

Die seitliche Grafik stellt den gleichen Zusammenhang für den Ausgangspunkt P(2|2) der Kurve dar.
Die Suche nach einem zweiten, gut ablesbaren Punkt auf der Tangente durch den Punkt P(2|2) führt uns zu Q(-3|7). Wir bilden wieder die Differenzen Δx und Δy, stellen den Quotienten Δy/Δx auf und erhalten damit die Steigung der Tangente mit m=-1 sowie die Steigung der Kurve in P(2|2) ebenfalls mit f'(2)=-1.

WIKI Grafisches Differenzieren Graphik 3 / © by Fit-in-Mathe-Online.de

Als letztes interessiert uns noch ein besonderer Punkt, nämlich der Punkt der Kurve bei x₀=0.
Wie wir sehen, erhalten wir für die Differenz Δy der y-Werte den Wert 0.
Dies bedeutet, dass dort die Tangente an die Kurve als auch die Kurve selbst keine Steigung haben, bzw. f'(0)=m=0 ist.
Solche Stellen, in denen offenbar eine positive Steigung in eine negative Steigung übergeht, bezeichnen wir als Extremstellen einer Kurve. Wechselt in einer Extremstelle die Steigung von positiv nach negativ, sprechen wir von einem Hochpunkt. Wechselt die Steigung hingegen von negativ nach positiv, so haben wir es mit einem Tiefpunkt zu tun.

Graphen der Ableitungsfunktion skizzieren

Da wir nun wissen, wie wir Steigungen in bestimmten Punkten des Graphen einer Funktion f grafisch feststellen können, können wir auch mithilfe dieses Verfahrens den Verlauf des Ableitungsgraphen f' näherungsweise bestimmen. Hierzu müssen wir lediglich in mehreren Punkten des Ursprungsgraphen die einzelnen Steigungen bestimmen, die dann als Punkte in ein gesondertes Koordinatensystem eingezeichnet werden und skizzenmäßig miteinander verbunden werden.

WIKI Grafisches Differenzieren Animation 1 / © by Fit-in-Mathe-Online.de

In der oben ablaufenden Animation wird dies im Intervall I=[-3;6] in 0,1-er Schritten ausgeführt.
In der Mitte der Animation kannst du Schritt für Schritt sehen, wie sich die einzelnen Steigungen f'(x) verändern. Im unteren Koordinatensystem entsteht so schrittweise der Graph der Ableitungsfunktion f'.
Wie wir sehen, ein aufwändiges Verfahren. Um so etwas jedoch schneller bewerkstelligen zu können, bedienen wir uns lediglich einiger markanter Punkte unserer Ausgangskurve, wie du im nachfolgenden Slider nachlesen kannst.

Markante Punkte

WIKI Grafisches Differenzieren Graphik 5 / © by Fit-in-Mathe-Online.de

WIKI Grafisches Differenzieren Graphik 6 / © by Fit-in-Mathe-Online.de

Betrachte dir hierzu die nebenstehende Grafik und die einzelnen Erläuterungen hierzu.
Als markante Punkte wählen wir die folgenden Stellen:

Am linken und rechten Rand des Systems die Stellen x₀=-3 und x₀=6.
Die beiden Extremstellen, den Hochpunkt bei x₀=0 und den Tiefpunkt bei x₀=4.
Die Wendestelle bei x₀=2.

Beginnen wir mit den beiden Extremstellen. Dort hat unsere Kurve ja die Steigung 0. Somit müssen wir im Koordinaten-System der Ableitungskurve die Punkte A(0|0) und B(4|0) markieren. Als nächstes wählen wir die Stelle x₀=2. Über die eingezeichnete Tangente ermitteln wir eine Steigung von etwa -1,1. Somit müssen wir den Punkt C(2|-1,1) im Koordinatensystem für die Ableitungskurve markieren. Zum Schluss bestimmen wir noch die Steigung in x₀=-3 und x₀=6 mithilfe einer eingezeichneten Tangente, erhalten für x₀=-3 eine Steigung von etwa 5,9 und für x₀=6 eine Steigung von etwa 3,4. Wir markieren im Koordinatensystem der Ableitungskurve noch die Punkte D(-3|5,9) und E(6|3,4). Damit haben wir genügend Punkte eingetragen, die wir dann skizzenmäßig verbinden und haben damit den Graphen der Ableitung gezeichnet.

Graphen der Stammfunktion skizzieren

Jetzt kommt es aber auch vor, dass wir den Graphen der Ableitungsfunktion vorgegeben haben und wollen wissen, wie wohl der Graph der Ursprungsfunktion aussieht. Für diese Ursprungsfunktion hat der Mathematiker wieder einen neuen Begriff geschaffen und nennt diese Funktion die „Stammfunktion“.

Wir betrachten uns nun dasselbe Beispiel wie zuvor, gehen dabei aber von der (un)bekannten Ableitungsfunktion aus. Wir verwenden wieder dieselben markanten Punkte A bis E. Als erstes zeichnen wir nun ein paar senkrechte Linien durch die Punkte. Irgendwo auf diesen Linien muss der entsprechende Punkt der Stammfunktion liegen und dort die Steigung gemäß dem y-Wert der Punkte haben. Am einfachsten sind wohl die Punkte B und D, denn dort ist die Steigung ja 0, die Stammfunktion muss dort eine Extremstelle besitzen. Betrachten wir zunächst die Stelle x₀=0. In dieser Nullstelle wechselt das Vorzeichen der Ableitungsfunktion von „+“ nach „-". Dies bedeutet, dass in x₀=0 die Stammfunktion einen Hochpunkt besitzt. Da wir aber nicht mehr genau wissen, in welcher Höhe dieser Hochpunkt liegt, tragen wir die waagrechte Tangente einfach auf der x-Achse liegend ein. Bezüglich der Nullstelle bei x₀=4 liegt ein Vorzeichenwechsel von „-" nach „+" vor, d.h., die Stammfunktion muss dort einen Tiefpunkt haben.
Da bei x₀=0 ein Hochpunkt ist, muss der Kurvenpunkt bei x₀=4 unterhalb der x-Achse liegen. Wir zeichnen also eine waagrechte Tangente (bei etwa y=-3, siehe Grafik) ein. Nun betrachten wir die Stelle bei x₀=2. Über die y-Koordinate des Punktes C wissen wir, dass die Stammfunktion bei x₀=2 eine Steigung von -1,1 haben muss. Wir tragen eine Tangente mit der Steigung m=-1,1 etwa in halber y-Höhe zwischen x₀=0 und x₀=4 ein. Jetzt können wir die Stammfunktion zwischen x₀=0 und x₀=4 schon skizzieren.
Es verbleiben jetzt lediglich noch die Stellen bei x₀=-3 und x₀=6. Die y-Koordinate der Punkte A und B sagt aus, dass die Stammfunktion dort positive Steigung haben muss, nämlich m=5,9 bei x₀=-3 und m=3,4 bei x₀=6. Wegen des Hochpunktes bei x₀=0 und der positiven Steigung muss die y-Koordinate bei x₀=-3 somit unterhalb der x-Achse liegen. Wegen des Tiefpunktes bei x₀=4 und der positiven Steigung m=3,4 muss die y-Koordinate bei x₀=6 somit oberhalb der y-Koordinate des Tiefpunktes bei x₀=4 liegen.
Wir zeichnen die beiden Tangenten an den entsprechenden Stellen ein (siehe Grafik) und verbinden dann lediglich das bereits eingezeichnete Teilstück zwischen x₀=0 und x₀=4 mit den seitlichen Punkten. Die Grafik unserer Stammfunktion ist somit skizziert. Wie wir nun aber erkennen können, liegt unsere Stammfunktion tiefer, als bei der graphischen Ermittlung der Ableitungsfunktion im ersten Teil unserer Betrachtung. Dies rührt daher, als durch die Ableitung eine wesentliche Information der Stammfunktion verloren geht, nämlich die Information, um wie viele Einheiten die Stammfunktion in y-Richtung verschoben ist.

Die 'NEW'-Regel

Die sogenannte „NEW-Regel“ ist eine der wichtigsten Regeln für grafisches differenzieren und integrieren. Die Abkürzung „NEW“ hat dabei nichts mit dem englischen Wort „new“ = neu zu tun. In der Abkürzung „NEW“ bedeutet:

N = Nullstelle

E = Extremstelle

W = Wendepunkt

Mit der NEW-Regel kannst du 90 % und mehr solcher Aufgaben ohne große Schwierigkeiten lösen.

Die "NEW"-Regel

NEW-Regel für grafisches Differenzieren und Integrieren / © by Fit-in-Mathe-Online.de

N_VZW=Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, E=Extremstelle, W=Wendestelle
F(x)=Stammfunktion, f(x)=1. Ableitung von F, f'(x)=2. Ableitung von F,
f''(x)=3. Ableitung von F

Weiterhin gilt:

	•	Verläuft f oberhalb der x-Achse, so ist F streng monoton steigend.
	•	Verläuft f unterhalb der x-Achse, so ist F streng monoton fallend.
	•	Ist f' negativ, so ist F rechtsgekrümmt.
	•	Ist f' positiv, so ist F linksgekrümmt.
	•	Ist f'' im Wenbdepunkt > 0, so wechselt die Krümmung von rechts nach links.
	•	Ist f'' im Wenbdepunkt < 0, so wechselt die Krümmung von links nach rechts.

Die NEW-Regel liest sich wie folgt:
Beim grafischen Differenzieren:

Hat die Ausgangsfunktion F eine Nullstelle (mit VZW) kann bezüglich der weiteren Ableitungen keine Aussage getroffen werden.
Hat die Ausgangsfunktion F eine Extremstelle (Hoch- bzw. Tiefpunkt), so hat ihre erste Ableitung eine Nullstelle (mit Vorzeichenwechsel), über weitere Ableitungen kann keine Aussage getroffen werden.
Hat die Ausgangsfunktion F eine Wendestelle, so hat ihre erste Ableitung eine Extremstelle (Hoch- bzw. Tiefpunkt), die zweite Ableitung eine Nullstelle (mit Vorzeichenwechsel) und die dritte Ableitung ist ungleich 0. Ist die dritte Ableitung größer als 0, so wechselt der Graph der Funktion F von rechtsdrehend auf linksdrehend. Ist die dritte Ableitung kleiner als 0, so wechselt der Graph der Funktion F von linksdrehend auf rechtsdrehend.

Beim grafischen Integrieren:

Hat die Ableitungsfunktion f einen Wendepunkt, kann bezüglich der Stammfunktion F keine Aussage getroffen werden.
Hat die Ableitungsfunktion f eine Extremstelle (Hoch- bzw. Tiefpunkt), so hat die Stammfunktion F eine Wendestelle.
Hat die Ableitungsfunktion f eine Nullstelle (mit Vorzeichenwechsel), so hat die Stammfunktion F einen Extrempunkt. Wechselt das Vorzeichen in der Nullstelle von "+" nach "-", so ist diese Extremstelle ein Hochpunkt.
Wechselt das Vorzeichen in der Nullstelle von "-" nach "+", so ist diese Extremstelle ein Tiefpunkt.

Beispiele

Beispiel 1

Ordne den Graphen A), B), C) und D) die Graphen der dazugehörigen Ableitungsfunktionen 1), 2), 3) und 4) zu. WIKI Grafisches Differenzieren Graphik 11 / © by Fit-in-Mathe-Online.de

WIKI Grafisches Differenzieren Graphik 11 / © by Fit-in-Mathe-Online.de

Lösung 1

Beispiel 2

h ist eine in $Fit in Mathe Latex: ac8755bd80f31325331948bad8e12da1.png$ differenzierbare Funktion. Nebenstehend ist für -1,5≤x≤3 das Schaubild ihrer Ableitungsfunktion h' dargestellt. Entscheide, ob die folgenden Aussagen über die Funktion h richtig, falsch oder unentscheidbar sind. Begründe deine Entscheidung.
(1)	An der Stelle x=-1 hat das Schaubild von h einen Tiefpunkt.
(3)	An der Stelle x=0 hat das Schaubild von h eine Tangente, die parallel ist zur Geraden mit der Gleichung y=2x-7.
(4)	h ist streng monoton wachsend für -1,5≤x≤0.

Differenzialrechnung - Grafisches Differenzieren