 |
|
Die Ableitung der Exponentialfunktion |
Definition des Begriffs Ableitung
Merksatz Ableitung
Die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x0 ist gleich der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt (x|f(x)). Sie entsteht über den Grenzwert des Differenzenquotienten  für Δx⟶0. |
Die Ableitung der Exponentialfunktion - Einleitung
| Nachdem wir nun (fast) alle Ableitungsregeln kennengelernt haben, verbleibt noch die Regel für die Ableitung der Exponentialfunktion. Wir kennen ja bereits die Form einer Exponentialfunktion f mit f(x)=a⋅ bx. Selbstverständlich hat eine solche Funktion eine Änderungsrate und somit auch eine Ableitung. In diesem Kapitel lernen wir die Ableitungsregel für die Exponentialfunktionen kennen. Du kannst dir den nachfolgenden Video betrachten oder aber du liest dir die verbale Beschreibung im Einzelnen durch. |
Video zur Ableitung der Exponentialfunktion (Laufzeit ca. 5,5 Minuten)
Die Exponentialfunktion ableiten
| Wir betrachten uns hierzu als erstes die natürliche Exponentialfunktion f mit f(x)=ex (e ist die Eulersche Zahl und hat den Wert e=2,78128..., eine irrationale Zahl). Wie bei anderen Funktionen auch, stellen wir den Differenzenquotienten auf mit
 Dieser Differenzenquotient sellt die Steigung der Sekante durch die Punkte B und B' dar.Wie bei allen anderen Nachweisen auch, lassen wir nun den Wert von h gegen 0 laufen, sodass letztendlich der Punkt B' mit dem Punkt B zusammenfällt und aus der Sekante damit eine Tangente an den Graphen von f entstanden ist. Wir bilden also den Differenzialquotienten  .Um dies bewerkstelligen zu können, müssen wir zunächst gemäß den Potenzregeln einige Umformungen vornehmen. Gemäß der 1. Potenzregel formen wir um:    Jetzt müssen wir noch für den Ausdruck  den Grenzwert für  untersuchen.Ohne an dieser Stelle auf den näheren Beweis eingehen zu wollen - dieser erfolgt im Kapitel "Funktionsklassen → Exponentialfunktion → Die e-Funktion" -, gilt:
Die Steigung der Tangente an die Exponentialfunktion ex an der Stelle x0 ist immer gleich deren Funktionswert an der Stelle x0. |
.Merksatz Ableitung der Exponentialfunktion
| Die Ableitung der Exponentialfunktion mit f(x)=ex lautet f'(x)=ex. |
Höhere Ableitungen der Exponentialfunktion
| Jetzt kommt f(x)=ex aber nicht alleine vor, sondern wird die Exponentialfunktion in fast allen Fällen mit anderen Funktionsarten verkettet. In diesem Falle gelten alle Ableitungsregeln, die wir nun kennen. Am besten schaust du dir die nachfolgenden Beispiele an. |
Beispiele
Beispiel 1
 |
| Es gilt die Faktorregel, Faktoren bleiben bei der Ableitung erhalten. |
Beispiel 2
 |
| Es gilt die Kettenregel, die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion mit u(x)=ex, die innere Funktion ist der Exponent von e mit v(x)=b⋅x und somit ist f(x)=u(v(x))=eb⋅x und f'(x)=u'(x)⋅v'(x)=b⋅eb⋅x. |
Beispiel 3
 |
| Auch hier gilt die Kettenregel wie im Beispiel 2. |
Beispiel 4
 |
| Hier gilt zunächst die Summenregel, nach der alle Glieder einzeln abgeleitet werden und für die e-Funktion die Kettenregel wie in Beispiel 2. Wie du in den Beispielen erkennst, ändert sich der Exponent der e-Funktion nie, dieser bleibt immer erhalten, so wie er ursprünglich vorgegeben ist. Dies führt uns zu einem sehr wichtigen |
Merksatz 2 zur Exponentialfunktion
|
Die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion
| Die allgemeine Exponentialfunktion lautet: f(x)=ax. Wie aber sieht nun die Ableitung einer Exponentialfunktion mit einer anderen Basis als e aus? Nachdem wir ja die Ableitung der e-Funktion kennen, machen wir uns für den Ableitungsnachweis der allgemeinen Exponentialfunktion die Potenzgesetze und Logarithmengesetze zu eigen. Die Potenz ax lässt sich auch schreiben mit  . Alternativ zum 10-er Logarithmus können wir auch den natürlichen Logarithmus ln verwenden. Dadurch erhalten wir .Und da wir ja die Ableitung der e-Funktion bereits kennen, ist  .Wir schreiben  wieder um zu  und erhalten endgültigf'(x)=ln(a)⋅ax. |
Merksatz Ableitung der Exponentialfunktion allgemein
| Die Ableitung der Exponentialfunktion mit f(x)=ax lautet f'(x)=ln (a)⋅ax. |
Ableitung der Exponentialfunktion Aufgabenblatt Level 1/Blatt 1  20 Aufgaben im Blatt |
| Ableitung der Exponentialfunktion Aufgabenblatt Level 2/Blatt 1 28 Aufgaben im Blatt |
| Ableitung der Exponentialfunktion Aufgabenblatt Level 2/Blatt 2 23 Aufgaben im Blatt |
| Ableitung der Exponentialfunktion Aufgabenblatt Level 3/Blatt 1 15 Aufgaben im Blatt |
| Ableitung der Exponentialfunktion Aufgabenblatt Level 3/Blatt 2 14 Aufgaben im Blatt |
