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Ableitungen - Produktregel und Quotientenregel |
Definition des Begriffs Ableitung
Merksatz Ableitung
Die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x0 ist gleich der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt (x|f(x)). Sie entsteht über den Grenzwert des Differenzenquotienten  für Δx⟶0. |
Produkt- und Quotientenregel - Einleitung
Bisher haben wir die einfachen Ableitungsregeln kennengelernt. Jetzt gibt es aber auch aus einzelnen Produkten bzw. Quotienten zusammengesetzte Funktionsgleichungen wie etwa f(x)=(2x+3)4⋅(e-x+x) oder auch  .Im ersteren Falle könnten wir zwar mit Ausmultiplizieren einzelne Funktionsglieder erhalten, die wir mit den bekannten Regeln ableiten könnten, allerdings wäre das eine sehr umständliche Vorgehensweise. Im zweiten Fall ist ein Ausmultiplizieren nicht möglich. Um derart gestaltete Funktionen ableiten zu können, existieren zwei zusätzliche Regeln, nämlich die Produktregel und die Quotientenregel. Wie der Name schon sagt, wird die Produktregel für Produkte und die Quotientenregel eben für Quotienten eingesetzt. Um die Produkt- und Quotientenregel kennen zu lernen, kannst du dir die folgenden Videos betrachten, oder aber du liest dir die verbalen Beschreibungen im Einzelnen durch. |
Videos zur Produkt- und Quotientenregel
Video zur Produktregel (Laufzeit ca. 3,5 Minuten)
Video zur Quotientenregel (Laufzeit ca. 2,5 Minuten)|
Regeln und Beispiele
Produktregel
| Mit zwei Funktionen u und v können wir ein Produkt bilden. Mit u(x)=x2 und v(x)=x3 erhalten wir f mit f(x)=u(x)⋅v(x)=x2⋅x3=x5. Während Summen von Funktionen gliedweise abgeleitet werden, gilt das für Produkte nicht. So hat unser Beispiel f(x)=x5 die Ableitung f'(x)=5x4. Würden wir nun u(x) und v(x) einzeln ableiten und dann erst multiplizieren, erhielten wir mit u'(x)=2x und v'(x)=3x2 aus f'(x)=u'(x)⋅v'(x)=2x⋅3x2=6x3 ein ganz anderes (falsches) Ergebnis. Wollen wir also die Ableitung eines Produkts f=u⋅v zweier Funktionen u und v bestimmen, deren Ableitung wir kennen, so müssen wir den Differenzenquotienten von f auf die Differenzenquotienten von u und v zurückführen. Es ist also:   Wir deuten nun die beiden Produkte im Zähler u(x0+h)⋅v(x0+h) und u(x0)⋅v(x0) als Flächeninhalte von Rechtecken mit den Seitenlängen u(x0+h) und v(x0+h) bzw. den Seitenlängen u(x0) und v(x0). Wir erhalten dadurch eine Idee für eine mögliche Umformung der Differenzu(x0+h)⋅v(x0+h)-u(x0)⋅v(x0). Die Subtraktion der beiden Rechteckflächen u(x0+h)⋅v(x0+h)-u(x0)⋅v(x0) lässt sich umformen zu: u(x0+h)⋅v(x0+h)-u(x0)⋅v(x0)=  Für den Differenzenquotienten (*) gilt damit:  |
Merksatz Produktregel
| Die Produktregel lautet: Sind zwei Funktionen u und v differenzierbar, so ist auch die Funktion f=u⋅v mit f(x)=u(x)⋅v(x) differenzierbar und es gilt: |
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| f'(x)=u'(x)⋅v(x)+u(x)⋅v'(x) |
| Ohne auf den mathematischen Beweis einzugehen, lässt sich die Produktregel auch auf mehr als nur zwei Funktionen u und v erweitern. Für drei Funktionen u, v und w ergibt sich f zu f(x)=u(x)⋅v(x)⋅w(x). Die Ableitung nach der Produktregel lautet dann: f'(x)=u'(x)⋅v(x)⋅w(x)+u(x)⋅v'(x)⋅w(x)+u(x)⋅v(x)⋅w'(x). Diese Erweiterung lässt sich auf eine beliebige Anzahl von mulitplikativ verknüpften Einzelfunktionen ausdehnen. BeispieleBeispiel 1
Bestimme die Ableitung der Funktion f und g mit f(x)=(x3+1)⋅cos(x) und
 .Lösung 1
f(x)=(x3+1)⋅cos(x)
u(x)=x3+1 u'(x)=3x2 v(x)=cos(x) v'(x)=-sin(x) f'(x)=u'v+uv'=3x2⋅cos(x)-(x3+1)⋅sin(x)      Beispiel 2
Bestimme die Ableitung der Funktion f mit f(x)=5x⋅(1-x)2.
Lösung 2
f(x)=5x⋅(1-x)2
u(x)=5x u'(x)=5 v(x)=(1-x)2 v'(x)=-2(1-x) f'(x)=u'v+uv'=5⋅(1-x)2+5x⋅(-2(1-x))=5⋅(1-x)⋅(1-x-2x) =5(1-x)⋅(1-3x) |
Quotientenregel
Mit zwei Funktionen u und v können wir einen Quotienten bilden. Mit u(x)=x2 und v(x)=x3 erhalten wir f mit  .Während Summen von Funktionen gliedweise abgeleitet werden, gilt das für Quotienten nicht. So hat unser Beispiel  die Ableitung  .Würden wir nun u(x) und v(x) einzeln ableiten und dann erst dividieren, erhielten wir mit u'(x)=2x und v'(x)=3x2 aus  ein ganz anderes (falsches) Ergebnis.Um Quotienten von Funktionen ableiten zu können, fassen wir  als Produkt zweier Funktionen auf mit  . Auf diese Weise können wir f nach den uns bislang bekannten Regeln ableiten. Die Funktion k mit  hat nach der bereits behandelten Kettenregel die Ableitung  .Mithilfe der Produktregel ergibt sich dann für : |
Merksatz Quotientenregel
| Die Quotientenregel lautet: Sind zwei Funktionen u und v differenzierbar, so ist auch die Funktion  mit  differenzierbar und es gilt: |
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Beispiel 3
Bestimme die Ableitung der Funktionen f mit:
Lösung 3
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