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Ableitungen - Konstanten- Faktor- Potenzregel |
Definition des Begriffs Ableitung
Merksatz Ableitung
Die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x0 ist gleich der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt (x|f(x)). Sie entsteht über den Grenzwert des Differenzenquotienten  für Δx⟶0. |
Videos zur Konstanten-, Faktor- und Potenzregel
| Um zu lernen, wie du mit der Konstanten-, Faktor- und Potenzregel rechnen musst, kannst du dir die nachfolgenden Videos ansehen, oder aber du liest dir die verbalen Beschreibungen im Einzelnen durch. |
Video zur Konstanten-, Faktor- und Potenzregel (Laufzeit ca. 2,5 Minuten).
Video zur Potenzregel mit ganzzahligen Exponenten (Laufzeit ca. 1,5 Minuten).
Video zur Potenzregel mit rationalen Exponenten (Laufzeit ca. 2 Minuten).
Regeln und Beispiele
Die Konstantenregel
 Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=c.Schauen wir uns den Graphen von f einmal an. In nebenstehender Grafik haben wir für c=2 gewählt. Differenzenquotient: Wir stellen fest, dass  immer 0 ist, egal wie groß oder klein  ist.Daraus folgern wir, dass  ist. Da f'(x) gleichzeitig die Steigung der Tangente im Punkt P(x|f(x)) ist, hat f(x)=2 in jedem Punkt P(x|f(x)) die Steigung 0, was ja auch aus der Abbildung ersichtlich ist. |
Merksatz Konstantenregel
| Die Konstantenregel lautet: Eine konstante Funktion  hat für alle  die Ableitung |
||
| f'(x)=0 | ||
| Mit anderen Worten: Konstanten fallen beim Ableiten weg. |
Die Faktorregel
 Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=mx.In nebenstehender Grafik haben wir für  gewählt.Differenzenquotient:   Wir stellen fest , dass immer  ist, egal wie groß oder klein Δx ist.Daraus folgern wir, dass  ist. Da f'(x) gleichzeitig die Steigung der Tangente im Punkt P(x|f(x)) ist, hat  in jedem Punkt P(x|f(x)) die Steigung . Was ja auch aus der Abbildung ersichtlich ist und andererseits auch die Steigung des Graphen der Funktion (einer Geraden) ist. |
Merksatz Faktorregel
| Die Faktorregel lautet: Ist g eine differenzierbare Funktion, so ist auch die Funktion f mit f(x)=k⋅g(x)  differenzierbar und es gilt: |
||
| f'(x)=k⋅g'(x) | ||
| Mit anderen Worten: Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten. |
Die Potenzregel (ganzzahlige Exponenten)|
 Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=ax2+c.In nebenstehender Grafik haben wir für a den Wert  und für c den Wert 1 gewählt. Der Graph der Funktion  mit  ist also eine Parabel.Differenzenquotient:     Differenzialquotient:  Da f'(x) gleichzeitig die Steigung der Tangente im Punkt P(x|f(x)) ist, hat in jedem Punkt P(x|f(x)) die Steigung  . Wollen wir nun die Steigung in einem bestimmten Punkt berechnen, so setzen wir die x-Koordinate des Punktes einfach in f'(x) ein. Im Beispiel erhalten wir somit für z. B.  und  .Welche Regel leitet sich daraus ab? Nun, die Konstantenregel haben wir in diesem Beispiel schon angewandt. Die +1 wird zur 0. Nach der Faktorregel muss die  bei x2 jedoch erhalten bleiben. Um aus die  zu machen, müssen wir mit 2 multiplizieren. Diese 2 finden wir aber in der Potenz von x2. Weiterhin ist das 2 in der Ableitung jedoch verschwunden und ist dort zu einer 1 geworden, denn x ist gleichbedeutend mit x1. Es sieht offensichtlich so aus, dass bei der Ableitung von Potenzen der Faktor bei der Variablen x mit der Potenz von x multipliziert wird und die Potenz um 1 verringert wird.Und genau das ist die Potenzregel für die Ableitung. Hier noch einmal das allgemeine Schema:  Aus der Funktionsgleichungerhalten wir deren Ableitung, indem wir den ursprünglichen Exponenten mit dem Term multiplizieren und danach den Exponenten um 1 verringern. |
Merksatz Potenzregel
| Die Potenzregel (speziell) lautet: Die Funktion  , ist differenzierbar und es gilt |
||
| f'(x)=n ⋅ xn-1 |
Die Potenzregel (rationale Exponenten)
Nun gibt es ja auch Potenzfunktionen mit negativen Hochzahlen und sogar mit rationalen Hochzahlen. Betrachten wir uns zunächst einmal solche mit negativen Hochzahlen. Gegeben ist die Funktion f mit  .In nebenstehender Grafik haben wir für a den Wert 2 und für c den Wert 1 gewählt. Die Funktionsgleichung lautet somit  . Nach den Potenzregeln können wir auch schreiben f(x)=2 ⋅ x-2+1. Differenzenquotient:     Differenzialquotient:  Die Ableitung der Funktion f mit  ist  . Wie kommen wir nun aber mit der Potenzregel zu dieser Lösung? Wir haben ja mit Hilfe der Potenzregeln umgeformt zu f(x)=2 ⋅ x-2+1. Nun können wir problemlos die Potenzregel anwenden, wir multiplizieren den Term 2⋅x-2 mit seinem Exponenten und vermindern dann die den Exponenten um 1, erhalten also 4x-1. Nun formen wir die negative Hochzahl nach den Potenzregeln wieder um zu einer positiven Hochzahl und erhalten  , denselben Ausdruck, den wir auch über den Differenzialquotienten erhalten haben. Das absolute Glied 1 der ursprünglichen Funktionsgleichung ist nach der Konstantenregel ja weggefallen. Somit lautet die Ableitung von   .Neben negativen Hochzahlen haben Potenzfunktionen auch rationale Potenzen.  Gegeben ist die Funktion f mit .In nebenstehender Abbildung haben wir für a den Wert 2 und für c den Wert 3 gewählt. Die Funktionsgleichung lautet somit:  . Nach den Potenzregeln können wir auch schreiben: .Differenzenquotient:     Differenzialquotient:  Die Ableitung der Funktion f mit  ist  . Wie kommen wir nun aber mit der Potenzregel zu dieser Lösung? Wir haben ja mithilfe der Potenzregeln umgeformt zu. Nun können wir problemlos die Potenzregel anwenden, wir multiplizieren den Term  mit seinem Exponenten und vermindern dann die den Exponenten um 1, erhalten also  . Nun formen wir die negative Hochzahl nach den Potenzregeln wieder um zu einer positiven Hochzahl, erhalten  , und formen den Exponenten weiter um nach den Potenzregeln, und erhalten den Ausdruck  , den wir auch über den Differenzialquotienten erhalten haben. Das absolute Glied 3 der ursprünglichen Funktionsgleichung ist nach der Konstantenregel ja weggefallen. Somit lautet die Ableitung von . |
Merksatz Potenzregel (allgemein)
| Die Potenzregel (allgemein) lautet: Die Funktion  , ist differenzierbar und es gilt |
||
| f'(x)=q ⋅ xq-1 |
Konstanten-/Faktor-/Potenzregel Aufgabenblatt Level 1 / Blatt 1  21 Aufgaben im Blatt |
| Konstanten-/Faktor-/Potenzregel Aufgabenblatt Level 1 / Blatt 2 21 Aufgaben im Blatt |
| Konstanten-/Faktor-/Potenzregel Aufgabenblatt Level 2 / Blatt 1 21 Aufgaben im Blatt |
| Konstanten-/Faktor-/Potenzregel Aufgabenblatt Level 2 / Blatt 2 21 Aufgaben im Blatt |
| Konstanten-/Faktor-/Potenzregel Aufgabenblatt Level 3 / Blatt 1 25 Aufgaben im Blatt |
| Konstanten-/Faktor-/Potenzregel Aufgabenblatt Level 3 / Blatt 2 22 Aufgaben im Blatt |
| Konstanten-/Faktor-/Potenzregel Aufgabenblatt Level 4 / Blatt 1 1 Aufgabe im Blatt |
