Eine wesentliche Vereinfachung der Ableitung einer Funktionsgleichung, in der die Variable x sowohl als Basis als auch als Exponent vorkommt – z. B. f(x)=xx – kann mithilfe der „Logarithmischen Differentiation“ erfolgen. Für diesen Fall – nämlich die Variable als Basis als auch als Exponent – kommt man um die logarithmische Differentiation nicht herum Wie dies im einzelnen erfolgt, lernen wir in diesem Kapitel (Hochschulmathematik).
Die Ableitung mittels logarithmischer Differentiation
Zur Bildung der Ableitung von Funktionen wie
können wir keine der bis jetzt bekannten Ableitungsregeln direkt anwenden, da die Variable sowohl in der Basis als auch im Exponenten auftritt. Trotzdem gelingt die Differentiation dieser Funktionen, wenn wir die Funktionsgleichung zunächst logarithmieren.
Aus
mit x>0
erhalten wir durch Logarithmieren beider Seiten der Gleichung
Die so entstandene Funktionsgleichung können wir nun nach den bekannten Regeln ableiten, in unserem Falle die Ableitung des ln auf der linken Gleichungsseite und der Produktregel auf der rechten Gleichungsseite.
Betrachten wir zunächst die linke Gleichungsseite mit . Die Ableitung von ist ja . Jetzt haben wir aber nicht sondern , sodass wir zusätzlich noch die Kettenregel benötigen. Somit ist die Ableitung
Jetzt betrachten wir die rechte Gleichungsseite. Dort steht ja nach dem Logarithmieren , wofür wir ja die Produktregel benötigen. Also:
Nach der Produktregel bilden wir nun u'(x)∙v(x)+v'(x)∙u(x). Dies führt zu:
Nun haben wir beide Seiten der logarithmieren Gleichung abgeleitet und haben somit:
Da wir aber nicht wissen wollen, was sondern was f'(x) ist, müssen wir die Gleichung noch mit f(x) multiplizieren. Dadurch erhalten wir:
Und da ja ist, letztendlich
Herleitung der allgemeinen Form der logarithmischen Ableitung
Hierzu betrachten wir eine Funktion
Wir Logarithmieren auf beiden Seiten.
Wir leiten ab:
Wir setzen zusammmen:
und multiplizieren noch mit f(x), sodass letztendlich
ist.
Vorgehensweise bei der logarithmischen Differentiation
In vielen Fällen, z. B. bei
gelingt die Differentiation einer Funktion nach dem folgenden Schema:
•
Logarithmieren der Funktionsgleichung;
•
Differenzieren der logarithmierten Gleichung unter Verwendung der Ableitungsegeln;
•
Multiplizieren des abgeleiteten Terms mit der Ursprungsfunktion.
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Der Begriff Ableitung
Merksatz Ableitung
Die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x0 ist gleich der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt (x|f(x)). Sie entsteht über den Grenzwert des Differenzenquotienten für Δx⟶0.
mit x>0
. Die Ableitung von 
ist ja 
. Jetzt haben wir aber nicht 
, wofür wir ja die Produktregel benötigen. Also:
sondern was f'(x) ist, müssen wir die Gleichung noch mit f(x) multiplizieren. Dadurch erhalten wir:
für Δx⟶0.