Prozentangaben sind lediglich eine andere Darstellungsweise von Dezimalzahlen. Das Wort PROZENT ist aus dem Lateinischen PRO und CENT abgeleitet. Pro steht für VON und Cent steht für HUNDERT. Cent kommt auch in vielen anderen Maßen vor, wie beispielsweise Centimeter und Centiliter. PROZENT bedeutet also VON HUNDERT. In der Mathematik kann man für alles, was mit VON ausgedrückt wird, auch einen Bruchstrich schreiben. 1 Prozent heißt somit 1 von 100 und als Bruch geschrieben . ist aber identisch mit 0,01. Somit können wir jede x-beliebige Prozentzahl einfach in eine Dezimalzahl umwandeln, indem wir die Prozentzahl durch 100 dividieren.
Umrechnung Prozente nach Dezimalzahl und umgekehrt
Nun gilt selbstverständlich auch die Umkehrung, nämlich Dezimalzahlen in Prozent umrechnen. Das geschieht sehr einfach, indem wir die Dezimalzahl mit 100 multiplizieren. Betrachten wir unser Beispiel mit 1 %. Wir haben ja festgestellt, dass 1 %=0,01 ist. Wenn wir nun 0,01∙100 bilden, erhalten wir ja wieder die 1 zurück, nur dürfen wir jetzt nicht das %-Zeichen vergessen, denn 0,01=1 %. Wir können uns diese Vorgehensweise aber sehr viel einfacher merken, wie nachfolgende Beispiele zeigen:
Beispiel 1
Ermittle die Dezimalzahl zu 0,5 %.
Lösung 1
Verschiebe das Komma um 2 Stellen nach links. 0,5 %=000,5 %=0,005
Beispiel 2
Ermittle die Dezimalzahl zu 3 %.
Lösung 2
3 %=003,0 %=0,030=0,03
Beispiel 3
Ermittle die Dezimalzahl zu 1,19 %.
Lösung 3
1,19 %=001,19 %=0,0119
Beispiel 4
Ermittle die Prozentzahl zu 115.
Lösung 4
Verschiebe das Komma um 2 Stellen nach rechts. 115=115,000=11500,0 %=11500 %
Beispiel 5
Ermittle die Prozentzahl zu 1.
Lösung 5
1=1,000=100,0 %=100 %
Beispiel 6
Ermittle die Prozentzahl zu 0,03.
Lösung 6
0,03=0,030=003,0 %=3 %
Diese Beispiele führen uns zu nachfolgendem
Merksatz Umwandlung Prozent nach Dezimal
Eine Prozentzahl wandeln wir in eine Dezimalzahl um, indem wir das Komma der Prozentzahl um zwei Stellen nach links verschieben. Eine Dezimalzahl wandeln wir in eine Prozentzahl um, indem wir das Komma der Dezimalzahl um zwei Stellen nach rechts verschieben.
Umrechnung Prozente nach Bruch und umgekehrt
Nun finden wir auch Aufgaben, die einen Bruch in eine Prozentzahl umwandeln sollen, bzw. eine Prozentzahl in einen Bruch. Auch hierfür gibt es eine sehr einfache Methode, die wir uns an Beispielen ansehen.
Beispiel 7
Ermittle die Prozentzahl zu .
Lösung 7
Wir wissen ja nun, dass % VON HUNDERT bedeutet. Wir müssen also nur den Bruch erweitern, damit im Nenner eine 100 steht. Brüche werden erweitert, indem wir Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Dies führt zu: . Jetzt haben wir die 100 im Nenner stehen, die zugehörige Prozentzahl ist damit die Zahl, die im Zähler steht. .
Beispiel 8
Ermittle die Prozentzahl zu .
Lösung 8
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Beispiel 9
Ermittle die Prozentzahl zu .
Lösung 9
.
Beispiel 10
Ermittle die Bruchdarstellung von 25 %.
Lösung 10
Wir schreiben die Prozentzahl in VON HUNDERT und kürzen den so entstandenen Bruch. .
Beispiel 11
Ermittle die Bruchdarstellung von .
Lösung 11
Beispiel 12
Ermittle die Bruchdarstellung von 35 %.
Lösung 12
.
Diese Beispiele führen uns zu nachfolgendem
Merksatz Umwandlung Prozent nach Bruch
Eine Prozentzahl wandeln wir in einen Bruch um, indem wir die Prozentzahl in den Zähler und die Zahl 100 in den Nenner eines Bruches schreiben und den Bruch danach vollständig kürzen. Einen Bruch wandeln wir in eine Prozentzahl um, indem wir den Bruch so erweitern, dass im Nenner eine 100 steht. Im Zähler des erweiterten Bruchs steht dann die Prozentzahl.
Besonderheit bei Umrechnung Bruch in Prozentzahl
Bei bestimmten Brüchen gelingt es uns nicht immer sofort eine Erweiterung auf den Nenner 100. In diesem Falle erweitern wir den Bruch so, dass eine Hunderterzahl im Nenner steht und kürzen danach entsprechend.
Beispiel 13
Ermittle die Prozentzahl zu .
Lösung 13
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Beispiel 14
Ermittle die Prozentzahl zu .
Lösung 14
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Beispiel 15
Ermittle die Prozentzahl zu .
Lösung 15
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Darstellung von Prozenten in Diagrammen
Prozentzahlen werden sehr häufig in Diagrammen visualisiert. Am geläufigsten sind dabei die nachfolgend aufgeführten Diagrammarten "Kreisdiagramm", "Säulendiagramm" sowie "Streifendiagramm".
Das Kreisdiagramm
Prozentuale Anteile werden oft in einem Kreisdiagramm (Prozentkreis) dargestellt. Aus dem nachfolgenden Kreisdiagramm lesen wir ab:
Es lesen:
Täglich
35 %
3 - 4 Mal die Woche
12 %
1 - 2 Mal die Woche
23 %
Seltener
26 %
Nie
4 %
Merke:
In einem Kreisdiagramm wird jeder Anteil durch einen Kreisausschnitt mit einem entsprechend großen Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) dargestellt. Der Winkel im Vollkreis beträgt 360 ° und entspricht einem Anteil von 100 %. Einem Anteil von 1 % entspricht daher ein Kreisausschnitt mit dem Zentriwinkel von 3,3 °.
Das Säulendiagramm
Entwicklungstendenzen und Veränderungen werden oft in einem Säulendiagramm dargestellt. Aus dem nachfolgenden Säulendiagramm lesen wir ab:
Monat
Oktober
23 %
November
28 %
Dezember
37 %
Januar
25 %
Februar
18 %
März
32 %
Merke:
In einem Säulendiagramm wird jeder prozentuale Anteil durch eine entsprechende Säulenlänge dargestellt. Um ein Säulendiagramm zu zeichnen, müssen wir zuerst die Länge der vertikalen (senkrechten) Achse festlegen: Wir wählen als größten Wert eine Zahl, die etwas größer ist als der größte vorkommende Anteil. Für diesen Wert können wir eine sinnvolle Höhe frei wählen (z. B. für 30 % die Höhe 3 cm; 1 % entspricht dann einer Höhe von 0,1 cm. Manchmal ist es günstiger, zuerst zu überlegen, wie hoch 1 % zu zeichnen ist und alle anderen Werte daraus zu berechnen.
Das Streifendiagramm
Prozentuale Anteile werden oft in einem Streifendiagramm (Prozentstreifen) dargestellt:
Merke: Die Gesamtlänge des Streifens entspricht 100 %. Jeder prozentuale Anteil wird durch eine entsprechende Streifenlänge dargestellt. Besonders einfach wird das Streifendiagramm, wenn wir für die Länge des gesamten Streifens z. B. 10 cm wählen. Damit entsprechen 100 % nämlich genau 100 mm. Die Beschriftung erfolgt oft im Inneren des Streifens. Das Streifendiagramm wird oft auch Blockdiagramm genannt.
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ist aber identisch mit 0,01. Somit können wir jede x-beliebige Prozentzahl einfach in eine Dezimalzahl umwandeln, indem wir die Prozentzahl durch 100 dividieren.
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