In der Mathematik versteht man unter Wurzelziehen oder Radizieren die Bestimmung der Unbekannten x in der Potenz
a=xn
Hieraus ergibt sich der generelle Merksatz der Wurzelrechnung, nämlich
Merksatz Wurzelziehen
Wurzelziehen oder Radizieren ist die Umkehrrechenart des Potenzierens, sofern die Basis des Potenzierens die Unbekannte x ist. Der Wert a ist bekannt (z. b. 8) sowie die Potenz n (z. B. 3) zur Basis x und wir suchen den Wert von x.
Wurzeln von Zahlen
Quadratwurzeln
Quadratwurzeln von natürlichen Zahlen
Generell ist es möglich, Wurzeln aus allen uns bekannten Zahlen zu ziehen. Betrachten wir uns am Anfang einmal die einfachsten Zahlen hierzu, nämlich die Quadratzahlen. Eine Quadratzahl ist ja eine Zahl, die sich durch Multiplikation einer anderen Zahl mit sich selbst ergibt. So ist ja 2⋅2=4. Also ist die 4 eine Quadratzahl, da sie durch die Multiplikation von 2 mit sich selbst entsteht. Das gleiche gilt für 3⋅3=9, hier ist die 9 die Quadratzahl, da sie durch die Multiplikation von 3 mit sich selbst entsteht.
Wurzelziehen möchte nun z. B. wissen, aus welcher Zahl durch Multiplikation mit sich selbst, eine bestimmte Zahl entstanden ist. Aus den Beispielen von zuvor, nämlich Quadratzahl 4 bzw. Quzadratzahl 9, möchten wir die ursprüngliche Zahl wissen. Diese Berechnungsmethode bezeichnen wir als Wurzelziehen und schreiben:
Nachfolgend eine Aufstellung aller Wurzeln die als Ergebnis die Zahlen 1 bis 25 haben. Am besten lernst du diese Zahlen auswendig.
Wurzel
Zahl
Wurzel
Zahl
Wurzel
Zahl
1
10
19
2
11
20
3
12
21
4
13
22
5
14
23
6
15
24
7
16
25
8
17
9
18
In der vorigen Tabelle tauchen jedoch nur Zahlen auf, aus denen sich die Wurzel ziehen lässt. Wie sieht es aber mit Zahlen aus, z. Bsp. einer 3? Was ist denn die ? Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt denn 3? Nun, aus obiger Tabelle sehen wir, dass und ist. Also, muss doch wohl zwischen 1 und 2 liegen. Nun gibt es unterschiedliche Methoden die manuell zu berechnen. Im heutigen Zeitalter der Taschenrechner ist diese jedoch überflüssig. Dieses Portal geht auch auf diese einzelnen Methoden nicht mehr ein. Was wir in diesem Zusammenhang aber wissen müssen ist, dass die eine irrationale Zahl ist. Irrationale Zahlen sind Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen, die sich an keiner Stelle periodisch wiederholen. Dies im Gegensatz zu den rationalen Zahlen, die stets auch als ein Bruch dargestellt werden können. Nur zu deiner Information, hier einmal die ersten 100 Stellen von :
Der derzeitige Weltrekord der Berechnung der Nachkommastellen (vom 9. Juni 2019) liegt bei 2.000.000.000.000 (sprich 2 Billionen) und wurde von Hiroyuki Oodaira erzielt. Wichtig zu wissen ist, dass Wurzeln aus allen natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, irrationale Zahlen sind.
Quadratwurzeln von ganzen Zahlen
Sind die natürlichen Zahlen nur ganze, positive Zahlen, so zählen zu den ganzen Zahlen auch die ganzzahlig negativen Zahlen. Wie verhält es sich nun aber mit der Quadratwurzel einer negativen ganzen Zahl? Überlegen wir uns doch einmal, was sein könnte. Wir wissen ja, dass wir eine Zahl suchen, die mit sich selbst multipliziert den Wert -1 ergibt. Von den Rechengesetzen her wissen wir aber, das "+"⋅"+"="+" und "-"⋅"-"="+" ist. Wir können also keine Zahl finden, die mit sich selbst multipliziert einen negativen Wert ergibt. Dies führt uns zur Erkenntnis, dass es für eine negative Zahl unter der Wurzel keine Lösung gibt. Der hieraus resultierende Merksatz lautet (vorläufig) also:
Merksatz Wurzelziehen negativ
Wurzelziehen oder Radizieren von negativen Zahlen hat keine Lösung. Minuszeichen unter einer Wurzel sind demnach nicht erlaubt.
An dieser Stelle ein Hinweis für den mathematisch Interessierten: Da es ja in der Mathematik nichts gibt, was es nicht gibt, haben sich Mathematiker eine Lösung für dieses Problem einfallen lassen. Sie bezeichnen einfach und führen damit die letzte der Zahlenmengen ein, nämlich die Menge der komplexen Zahlen . Nähere Einzelheiten und Berechnungsarten mit komplexen Zahlen findest du in diesem Portal unter „Die komplexen Zahlen“.
Quadratwurzeln von rationalen Zahlen
Selbstverständlich lassen sich die Wurzelgesetze auch auf rationale Zahlen anwenden. Wir erinnern uns, rationale Zahlen sind alle Zahlen, die sich durch einen Bruch darstellen lassen.
Untersuchen wir doch einmal . Wir suchen wieder mal eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert ergibt. Das ist ja nicht allzu schwer, denn von der Bruchrechnung her wissen wir, dass ist. Es ist also . Oder wir untersuchen einmal . Was wir weiter oben ja schon gelernt haben ist, dass und ist. Also muss sein. Und da ist, ist .
Quadratwurzeln von irrationalen Zahlen
Für Quadratwurzeln von irrationalen Zahlen gelten die Regeln entsprechend, das Ergebnis ist immer eine irrationale Zahl.
Kubikwurzeln
Kubikwurzeln von natürlichen Zahlen
Unter einer Kubikwurzel verstehen wir das Suchen nach einer Zahl die dreimal mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. So gilt:
, denn 2⋅2⋅2=8.
Ähnlich den Quadratwurzeln von natürlichen Zahlen ist das Ergebnis einer Kubikwurzel nur dann wieder eine ganze Zahl, wenn die Zahl unter dem Wurzelzeichen sich aus der dreifachen Multiplikation einer anderen natürlichen Zahl ergibt. In allen anderen Fällen ist das Ergebnis eine irrationale Zahl.
Kubikwurzeln von ganzen Zahlen
Zu den ganzen Zahlen zählen ja auch die negativen ganzen Zahlen. Auch hier gilt, dass ein Minuszeichen unter der Wurzel nicht zulässig ist, allerdings mit einer kleinen Einschränkung, denn
x3=-8, hier gilt ja (-2)⋅(-2)⋅(-2)=-8.
Jetzt könnte ja jemand meinen, dass die Kubikwurzel aus -8 gleich -2 wäre, was auch richtig ist, allerdings ist die Schreibweise verboten und du musst statt dessen schreiben.
Kubikwurzeln von rationalen Zahlen
Hier sind die Regeln gleichbedeutend mit denen der Quadratwurzeln mit der Erweiterung, dass ja eine Zahl gesucht wird, die dreimal mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergeben muss.
, denn .
Kubikwurzeln von irrationalen Zahlen
Für Kubikwurzeln von irrationalen Zahlen gelten die Regeln entsprechend, das Ergebnis ist immer eine irrationale Zahl.
n-te Wurzel
Das „n“ von n-te Wurzel steht hier für den Wurzelexponenten. Eigentlich sind Quadratwurzel und Kubikwurzel auch n-te Wurzeln. Die Quadratwurzel ist eben die 2-te Wurzel, die Kubikwurzel die 3-te Wurzel. Ist n=4 handelt es sich eben um die 4-te Wurzel, bei n=5 um die 5-te Wurzel usw. usw. Die Schreibweise der n-ten Wurzel ist .
n-te Wurzeln von natürlichen Zahlen
Unter einer n-ten wurzel verstehen wir das Suchen nach einer Zahl die n Mal mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. So gilt:
, denn 2⋅2⋅2⋅2=16.
Das Ergebnis einer n-ten Wurzel ist nur dann wieder eine natürliche Zahl, wenn die Zahl unter dem Wurzelzeichen sich aus der n-maligen Multiplikation einer anderen natürlichen Zahl ergibt. In allen anderen Fällen ist das Ergebnis eine irrationale Zahl.
Geradzahlige Wurzelexponenten
Ist der Wurzelexponent z. B. gleich 4, so haben 4-te Wurzeln aus einer negativen Zahl keine Lösung. Zwar ist die , wollten wir aber die ziehen, so müsste
(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)=-16
Ist es aber nicht, denn
(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)=+16
Damit wissen wir, dass n-te Wurzeln mit geradzahligem Wurzelexponenten n bei negativen Zahlen keine Lösung haben.
Ungeradzahlige Wurzelexponenten
Auch hier gilt, dass Minuszeichen unter der Wurzel nicht zulässig sind, allerdings mit der Einschränkung wie bei der Kubikwurzel, denn
x5=-32, da gilt ja (-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)=-32.
Jetzt könnte ja jemand meinen, dass die 5-te Wurzel aus -32 gleich -2 wäre, was auch richtig ist, allerdings ist die Schreibweise verboten und du musst statt dessen schreiben.
n-te Wurzel von rationalen Zahlen
Hier sind die Regeln gleichbedeutend mit denen der Quadratwurzeln mit der Erweiterung, dass ja eine Zahl gesucht wird, die n-mal mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergeben muss.
, denn .
, denn .
n-te Wurzeln von irrationalen Zahlen
Für n-te Wurzeln von irrationalen Zahlen gelten die Regeln entsprechend, das Ergebnis ist immer eine irrationale Zahl.
Wurzel von Variablen
Ungeachtet der Art der Wurzel, ob es sich um Quadrat-, Kubik- oder n-te Wurzeln handelt, die Regeln für Wurzeln aus Zahlen gelten uneingeschränkt auch für Variable. Der einzige Unterschied ist der, dass du jetzt nicht mehr weißt, ob das Ergebnis eine natürliche, eine ganze, eine rationale oder gar eine irrationale Zahl ist, denn du kennst ja (noch) nicht den Wert der Variablen. So kannst du z. B. keine Aussage über die Art des Ergebnisses bei der Gleichung
machen. Das Einzige was du hier weißt ist, dass b n-mal mit sich selbst multipliziert a ergeben muss. Was du aber erkennen solltest, dass z. B. die Quadratwurzel
ist, denn a⋅a=a2. Oder
ist, denn x⋅x⋅x⋅x⋅x=x5.
Ebenfalls wichtig zu wissen ist – und das gilt auch für Zahlen, dass sich eine Wurzel potenziert mit ihrem Wurzelexponenten aufhebt. So ist
denn
Für weitere Operationen mit Wurzeln von Variablen siehe auch die anderen Kapitel unter diesem Thema.
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? Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt denn 3?
und 
ist. Also, muss doch wohl 
sein könnte. Wir wissen ja, dass wir eine Zahl suchen, die mit sich selbst multipliziert den Wert -1 ergibt. Von den Rechengesetzen her wissen wir aber, das "+"⋅"+"="+" und "-"⋅"-"="+" ist. Wir können also keine Zahl finden, die mit sich selbst multipliziert einen negativen Wert ergibt. Dies führt uns zur Erkenntnis, dass es für eine negative Zahl unter der Wurzel keine Lösung gibt. Der hieraus resultierende Merksatz lautet (vorläufig) also:
und führen damit die letzte der Zahlenmengen ein, nämlich die Menge der komplexen Zahlen 
. Nähere Einzelheiten und Berechnungsarten mit komplexen Zahlen findest du in diesem Portal unter „Die komplexen Zahlen“.
. Wir suchen wieder mal eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert 
ergibt. Das ist ja nicht allzu schwer, denn von der Bruchrechnung her wissen wir, dass 
ist. Es ist also 
.
. Was wir weiter oben ja schon gelernt haben ist, dass 
und 
ist. Also muss 
sein. Und da 
ist, ist 
.
, denn 2⋅2⋅2=8.
verboten und du musst statt dessen 
schreiben.
, denn 
.
.
, denn 2⋅2⋅2⋅2=16.
, wollten wir aber die 
ziehen, so müsste
verboten und du musst statt dessen 
schreiben.
, denn 
.
, denn 
.
denn
