Nachdem wir nun gelernt haben, wie man einen Logarithmus berechnet, untersuchen wir einmal, wie es sich mit den Logarithmen zweier Zahlen und dem Logarithmus ihres Produkts verhält. Hierzu betrachten wir die folgenden Kästchen:
Diese drei Beispiele lassen vermuten, dass zwischen den Logarithmen zweier positiver Zahlen u und v und dem Logarithmus ihres Produktes die folgende Beziehung besteht:
Logarithmus Rechengesetze
In diesem WIKI nun lernen wir die Logarithmengesetze für die verschiedenen Logarithmus-Operationen für Multiplikation, Division und Potenzen kennen.
Logarithmus Sonderregeln
Wie wir in früheren Kapiteln bereits kennengelernt haben, existieren 3 Sonderregeln, die wir hier wiederholen, da sie für das Verständnis der weiterführenden Ausführungen von besonderer Bedeutung sind. 1. Sonderregel Jeder Logarithmus von seiner Basis ist immer 1. 2. Sonderregel Jeder Logarithmus von 1 ist stets 0. 3. Sonderregel Logarithmen als Potenz ihrer Basis heben sich auf.
Logarithmen-Multiplikation
In der Einleitung haben wir bereits festgestellt, dass loga(u)+loga(v)=loga(u⋅v) ist. Als Nachweis dieses Zusammenhangs betrachten wir uns das Folgende: Die 3. Sonderregel (siehe Sonderregeln zuvor) besagt ja, dass sich Logarithmen als Potenz ihrer Basis aufheben, dass also gilt für b>0; a>0 und a≠1.
Wir können deshalb für u, v und (u⋅v) schreiben:
Das Produkt u⋅v lässt sich damit auf zweierlei Art bilden:
Es gilt somit:
Letztere Auflösung folgt der Potenzregel, dass Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden, indem die Hochzahlen addiert werden (ap⋅aq=ap+q). Wenn aber zwei Potenzen mit gleicher Basis gleich sind, dann sind auch ihre Exponenten gleich, sodass gilt:
loga(u⋅v)=loga(u)+loga(v)
Damit kommen wir zu folgendem
Merksatz zur Logarithmen-Multiplikation
Für alle u>0; v>0 und a>0 mit a≠1 gilt:
loga(u⋅v)=loga(u)+loga(v)
Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.
Natürlich gilt diese Beziehung auch für Produkte mit mehr als zwei Faktoren: loga(u⋅v⋅w⋅…)=loga(u)+loga(v)+loga(w)+⋯ Nachfolgend Beispiele zur Multiplikationsregel:
Beispiel Multiplikation
Zerlege den Logarithmusterm in seine einzelnen Bestandteile:
loga(b⋅c); loga(b⋅c⋅d); loga(5⋅f⋅g)
Lösung Multiplikation
Logarithmen-Division
Als Nachweis des Zusammenhangs betrachten wir uns das Folgende: Der Quotient lässt sich auf zweierlei Art bilden:
Es gilt somit:
Letztere Auflösung folgt der Potenzregel, dass Potenzen mit gleicher Basis dividiert werden, indem die Hochzahlen subtrahiert werden ap:aq=ap-q. Wenn aber zwei Potenzen mit gleicher Basis gleich sind, dann sind auch ihre Exponenten gleich.
Damit kommen wir zu folgendem
Merksatz zur Logarithmen-Division
Für alle u>0; v>0 und a>0 mit a≠1 gilt:
Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.
Natürlich gilt diese Beziehung auch für Quotienten mit mehr als zwei Divisoren: loga(u:v:w⋅…)=loga(u)-loga(v)-loga(w)-⋯Nachfolgend Beispiele zur Divisionsregel:
Beispiel Division
Zerlege den Logarithmusterm in seine einzelnen Bestandteile:
Lösung Division
Logarithmen von Potenzen
Unmittelbar aus der Logarithmen-Multiplikation ergibt sich der Logarithmus von Potenzen. Es ist ja loga(u⋅v⋅w⋅…)=loga(u)+loga(v)+loga(w)+⋯. Wenn nun aber u=v=w=⋯ ist, können wir auch schreiben:
loga(u⋅u⋅u⋅…)=loga(u)+loga(u)+loga(u)+⋯
alternativ
für das r-malige Vorkommen von u.
Damit kommen wir zu folgendem
Merksatz zum Logarithmus von Potenzen
Für alle u>0; v>0 und a>0 mit a≠1 gilt:
Der Logarithmus einer Potenz ur ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten r und dem Logarithmus von u zur Basis a.
Dies ist eine der wesentlichsten Aufgaben des Logarithmus, nämlich den Exponenten einer Potenz VOR den Logarithmus der Basis zu holen.
Nur durch diese Operation kann die Lösungsmenge einer Gleichung bestimmt werden, bei der die Unbekannte (Variable) Exponent einer Potenz ist.
Nachfolgend Beispiele zur Potenzregel:
Beispiel Potenz
Zerlege den Logarithmusterm in seine einzelnen Bestandteile:
Lösung Potenz
Logarithmus von Summen und Differenzen
Gibt es den überhaupt? Wir haben ja gesehen, dass loga(u⋅v)=loga(u)+loga(v) ist. Ist denn jetzt loga(u+v)=loga(u)+loga(v)=loga(u⋅v)? Oder gar ?
Nun, machen wir doch einfach mal ein Beispiel und sagen u=3 und v=4. Dann müsste nach obiger Theorie doch sein:
loga(3+4)=loga(3)+loga(4)=loga(3∙4)=loga(12)
Und jetzt erkennen wir, dass ja 3+4=7 ist, und somit kann
loga(3+4)≠loga(12)
sein. Alternativ gilt dies für Differenzen, denn
loga(3-4)≠loga(-1)
Bei diesem Beispiel alleine schon deshalb, als es Logarithmen von negativen Zahlen nicht gibt.
Was machen wir nun aber mit z.B. folgenden Termen?
Beispiel Summen und Differenzen
Spalte die Terme nach den Logarithmusgesetzen auf:
Lösung Summen und Differenzen
Rechnen mit Logarithmusgesetzen
Die drei Logarithmengesetze
lassen sich verwenden, um den Logarithmus zusammengesetzter Terme in seine einzelnen Bestandteile zu zerlegen. In den folgenden Beispielen stehen alle Variablen für positive Zahlen und es ist a ≠ 1. Über dem Gleichheitszeichen steht, welches der drei Logarithmengesetze bei der jeweiligen Umformung verwendet wurde.
Rechnen von 'links nach rechts'
Beispiel 5
=
Beispiel 6
=
Beispiel 7
=
Beispiel 8
=
Beispiel 9
=
=
Rechnen von 'rechts nach links'
Bisher haben wir die drei Logarithmengesetze „von links“ nach „rechts“ verwendet:
⇒
Von „loga(u⋅v)“ sind wir übergegangen zu „loga(u)+loga(v)“,
⇒
von „“ sind wir übergegangen zu „loga(u)-loga(v)“,
⇒
von „loga(ur)“ sind wir übergegangen zu „r⋅loga(u)“.
Natürlich können wir die Logarithmengesetze auch „von rechts“ nach „links“ anwenden:
⇒
Von „loga(u)+loga(v)“ können wir übergehen zu „loga(u⋅v)“,
⇒
von „loga(u)-loga(v)“ können wir übergehen zu „“,
⇒
von „r⋅loga(u)“ können wir übergehen zu „loga(ur)“.
In dieser Richtung lassen sich mithilfe der drei Logarithmengesetze mehrere Logarithmen zu einem einzigen Logarithmus zusammenfassen. In den folgenden Beispielen stehen wiederum alle Buchstaben für positive Zahlen und es gilt zusätzlich a ≠ 1. Über dem Gleichheitszeichen steht jeweils die Nummer des bei der betroffenen Umformung verwendeten Logarithmengesetzes.
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für b>0; a>0 und a≠1.
betrachten wir uns das Folgende: 
lässt sich auf zweierlei Art bilden:
?
“ sind wir übergegangen zu „loga(u)-loga(v)“,
