WIKI unbestimmtes Integral - Integrationsregeln komplex
Unbestimmtes Integral / Integrationsregeln komplex
Nachfolgend sind die gegenüber den Basisregeln der Integration erweiterten Integrationsregeln im einzelnen aufgeführt. Die hier aufgeführten Regeln entsprechen dem Lehrumfang in den ersten Semestern von Analysis-Vorlesungen an Universitäten bzw. ähnlich gelagerten Bildungseinrichtungen wie z. B., technischen Hochschulen. Die Integrationsregeln der Basis findest du im Kapitel "Integrationsregeln Basis".
Nicht lineare Substitution
Ist im Integranden eines Integrals eine verkettete Funktion und außerdem noch die Ableitungsfunktion der inneren Funktion als Faktor vorhanden, so kann die Integration durch nichtlineare Substitution erfolgen.
Merksatz nicht lineare Substitution
Es sei f(x)=v(u(x))⋅u'(x) und V eine Stammfunktion der äußeren Funktion v, dann ist F mit F(x)=V(u(x)) eine Stammfunktion von f.
Beispiel 1
Bilde eine Stammfunktionen F der Funktion .
Lösung 1
Beispiel 2
Bilde eine Stammfunktionen F der Funktion .
Lösung 2
Partielle Integration
Bereitet die Integration einer Summe von Funktionen wenig Probleme unter Verwendung der Summen- bzw. Differenzregel, gestaltet sich das Integrieren eines Produktes von Funktionen weitaus schwieriger.
Bislang haben wir für solche Fälle die Integration durch lineare Substitution bzw. nicht lineare Substitution kennen gelernt, doch kann man in vielen Fällen keine geeignete Substitution angeben.
Jedoch ermöglicht eine einfache Umkehrung der Produktregel der Ableitungen von Funktionen den Zugang zum Integrationsverfahren der partiellen Integration.
Für die Ableitung eines Produktes von Funktionen f(x)=u(x)⋅v(x) gilt: f'(x)=u'(x)⋅v(x)+u(x)⋅v'(x). Wir integriert auf beiden Seiten, so folgt nach der Summenregel der Integralrechnung
Mit f(x)=u(x)⋅v(x) erhalten wir:
Jetzt bringen wir mit "-" auf die andere Seite der Gleichung und haben somit:
Somit lässt sich der folgende Merksatz formulieren:
Merksatz partielle Integration
Sind u und v im Intervall [a;b] differenzierbare Funktionen sowie u' und v' im Intervall stetig, so gilt:
Die auf dieser Regel fußende Integrationsmethode nennen wir „partielle Integration“, um anzudeuten, dass ein Restintegral bleibt, d.h., wir integrieren nur teilweise – nur partiell. Dieses Restintegral ist entweder ein bekanntes Grundintegral oder es muss weiter evtl. abermals partiell integriert werden.
Beispiel 3
Bilde eine Stammfunktion F der Funktion f(x)=x⋅sin(x).
Lösung 3
Beispiel 4
Bilde eine Stammfunktion F der Funktion f(x)=x2⋅ex.
Lösung 4
Partialbruchzerlegung
Die Partialbruchzerlegung bei der Integration wird auf gebrochen rationale Funktionen angewandt, sofern der Funktionsterm nicht durch eine einfache Division in eine Summe umgewandelt werden kann.
Ist der Integrand eine unecht gebrochen rationale Funktion – der höchste Zählergrad ist größer als der höchste Nennergrad -, so wird diese zunächst durch Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochen rationale Funktion zerlegt.
Den echt gebrochen rationalen Anteil schreibt man dann mittels Partialbruchzerlegung als eine Summe einfacher Teilbrüche.
Der Lösungsansatz für die Partialbruchzerlegung ist hierbei davon abhängig, ob die Funktion im Nenner einfache oder mehrfache, reelle oder komplexe Nullstellen hat. In diesem WIKI betrachten wir nur Fälle, in der die Funktion des Nenners einfache oder mehrfache reelle Nullstellen besitzt.
Beispiel 5
Bilde eine Stammfunktion F der Funktion .
Lösung 5
Beispiel 6
Bilde eine Stammfunktion F der Funktion .
Lösung 6
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mit "-" auf die andere Seite der Gleichung und haben somit:
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