Im Kapitel Ratensparen haben wir Berechnungsformeln für die Berechnungen von Ratensparverträgen kennengelernt. In diesem Kapitel lernen wir nun eine andere und umfangreichere Berechnung dieser „Ratensparverträge“ kennen. Haben wir unter Ratensparen stets nur berechnet, nach wie vielen Raten eine bestimmtes Endkapital erreicht wird und haben dabei immer nur Einzahlungen am Anfang eines Jahres angenommen, ist es in der Rentenrechnung auch möglich, Einzahlungen am Ende eines Jahres vorzunehmen. Es entstehen dadurch zwei neue Begriffe, nämlich
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Vorschüssige Rentenzahlungen sowie
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Nachschüssige Rentenzahlungen
Weiterhin ist in der Rentenrechnung auch von Interesse, wie lange ein vorhandenes Kapital ausreicht, wenn man sich Jahr für Jahr einen bestimmten Betrag auszahlen lässt. Rentenrechnung ist also Ratensparen auf der einen Seite sowie Entnahmeplan auf der anderen Seite. Die wichtigsten Begriffe der Rentenrechnung – im folgenden Schritt für Schritt erläutert – sind somit:
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Berechnung des Rentenendwertes, vorschüssig und nachschüssig
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Berechnung des Rentenbarwertes, vorschüssig und nachschüssig
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Regelmäßige Ein- bzw. Auszahlungen, vorschüssig und nachschüssig
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Ewige Renten
Der Rentenendwert
Rentenendwerte sind die Werte, die nach Ablauf von regelmäßigen Einzahlungen (bzw. Auszahlungen) als effektiver Geldbetrag verfügbar sind. Wir merken uns: Ein- bzw. Auszahlungen zu Beginn eines Jahres werden „vorschüssige Zahlungen“ genannt. Ein- bzw. Auszahlungen am Ende eines Jahres werden „nachschüssige Zahlungen“ genannt.
Folgende Formelzeichen gelten bei der Verzinsung regelmäßiger Zahlungen:
Anfangskapital
Endkapital
Zinssatz
Zinsfaktor mit
Rate
Anzahl der jährlichen Zahlungen
Hinweis: Diese Formelzeichen haben wir bereits im Kapitel Ratensparen kennen gelernt.
Der Rentenendwert mit nachschüssiger Zahlung
Für den Endwert regelmäßiger nachschüssiger Zahlungen gilt:
Beispiele nachschüssige Zahlung
Beispiel 1
Lösung 1
Beispiel 2
Lösung 2
Beispiel 3
Lösung 3
Der Rentenendwert mit voschüssiger Zahlung
Für den Endwert regelmäßiger vorschüssiger Zahlungen gilt:
Beispiele vorschüssige Zahlung
Beispiel 4
Lösung 4
Beispiel 5
Lösung 5
Beispiel 6
Lösung 6
Der Rentenbarwert
Unter dem Rentenbarwert verstehen wir den einmalige Betrag K0, der bei einer Rentenanstalt einzuzahlen ist, um n Jahre lang entweder am Ende (nachschüssig) oder am Anfang (vorschüssig) eines jeden Jahres eine Rente von R € beziehen zu können bei einem festen Zinssatz von p %.
Der Rentenbarwert mit nachschüssiger Zahlung
Den nachschüssigen Barwert K0 erhalten wir durch Abzinsung des nachschüssigen Rentenendwertes Kn. Wir berechnen zunächst den Rentenendwert Kn über die Formeln der Kapitalentwicklung mit festem Zinssatz:
Den so ermittelten Rentenendwert setzen wir dem Rentenendwert der nachschüssigen Zahlungen gleich.
Jetzt dividieren wir noch entsprechend den Regeln der Äquivalenzumformung von Gleichungen noch mit qn und erhalten dadurch die Rentenbarwert
Beispiel 7
Lösung 7
Der Rentenbarwert mit vorschüssiger Zahlung
Den vortschüssigen Barwert K0 erhalten wir durch Abzinsung des vorschüssigen Rentenendwertes Kn. Wir berechnen zunächst den Rentenendwert Kn über die Formeln der Kapitalentwicklung mit festem Zinssatz:
Den so ermittelten Rentenendwert setzen wir dem Rentenendwert der vorschüssigen Zahlungen gleich.
Jetzt wird noch entsprechend den Regeln der Äquivalenzumformung von Gleichungen die Formel mit qn gekürzt und erhalten dadurch die Rentenbarwert.
Beispiel 8
Lösung 8
Die ewige Rente
Unter einer ewigen Rente verstehen wir die jährliche bzw. monatliche Kapitalentnahme von einem bestehenden Guthaben nur in Höhe der Verzinsung des Guthabens. De facto bleibt der anfänglich eingezahlte Grundbetrag unberührt und lediglich die Zinsen werden abgehoben. Die ewige Rente ist defacto der Zinsertrag einer Kapitalanlage, so wie wir sie im Kapitel Zinsrechnung kennen gelernt haben.
Die ewige nachschüssige Rente
Es wird das Kapital K0 gesucht, welches in einem Jahr bei einem Zinssatz von p % Zinsen in Höhe der Rate R der ewigen Rente bringt.
Beispiel 9
Lösung 9
Die ewige vorschüssige Rente
Es wird das Kapital K0 gesucht, welches in einem Jahr bei einem Zinssatz von p % Zinsen in Höhe der Rate R der ewigen Rente zuzüglich einer ersten Rate zu Beginn der ewigen Rente bringt.
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