Im Kapitel Zinseszinsen haben wir die Berechnungsformel für die Zinseszinsrechnung kennengelernt. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns nun mit dem Ratensparen innerhalb der Zinseszinsrechnung.
Unter „Ratensparen“ verstehen wir die mehrmalige jährliche Einzahlung eines bestimmten Betrages – der Rate R – bei einer Bank für einen Zeitraum von mehreren Jahren. Wir wollen wissen, wie sich dieses eingezahlte Kapital „entwickelt“ und mit welchem Betrag - Endkapital Kn- wir nach Ablauf von n Jahren bei einem Zinssatz von p % rechnen können.
Die Zinseszinsformel für Ratensparen mit festem Zinssatz
Die Zinseszinsformel für Ratensparen mit festen Zinssatz lautet
Kn=R⋅(qn+qn-1+qn-2+⋯+q)
mit
.
In der Formel bedeutet:
R =
Rate
Dies ist der Geldbetrag, den wir in jedem Jahr wiederholt zur Bank bringen und anlegen.
Kn =
Endkapital
Dies ist der Geldbetrag, den wir nach n Jahren auf unserem Konto zur Verfügung haben, wenn unsere Raten Jahr für Jahr mit p % Zinsen verzinst wurden.
p% =
Zinssatz
Dies ist der Prozentsatz, mit dem unsere Raten Jahr für Jahr einschließlich Zinsen verzinst wird.
n =
Anzahl der Jahre
Dies sind die Anzahl Jahre (aber auch Anzahl der Rateneinlagen), die wir unsere Raten bei der Bank zum Sparen und Verzinsen anlegen.
q =
Zinsfaktor
Dies ist der Faktor der exponentiellen Zunahme der Raten.
Die Zinseszinsformel für Ratensparen mit variablem Zinssatz
Die obige Zinseszinsformel gilt nur für den Fall, dass der Zinssatz über die gesamte Laufzeit des Ratensparvertrages konstant bleibt. Nun gibt es aber auch Sparformen, bei denen je nach Länge des Ansparvertrages ein stufenweise steigender Zinssatz gilt. Wir sprechen hier von Ratensparen mit variablem Zinssatz. In diesem Falle gilt die erweiterte Zinseszinsformel
R = jährliche Rate sowie Kn = Endkapital ist hier wie bei festem Zinssatz. Die Veränderung ist hier der variable Zinsfaktor.
Sei p1 % der Zinssatz im ersten Jahr des Ratensparens, so ist q1 mit der Zinsfaktor für das erste Jahr; q2 mit der Zinsfaktor für das zweite Jahr; q3 mit der Zinsfaktor für das dritte Jahr; … usw. bis qn mit der Zinsfaktor für das letzte Jahr der Anlage.
Berechnungsmethoden
Wollen wir von der Zinseszinsformel Kn=R⋅(qn+qn-1+qn-2+⋯+q) bzw. Kn=R ⋅ (q1⋅q2⋅q3⋅…⋅qn+q2⋅q3∙q4⋅…∙qn+q3⋅q4∙q5⋅…∙qn+⋯+qn) eine der Variablen berechnen, so müssen uns stets alle anderen Variablen in irgendeiner Form gegeben sein. Bei den Aufgabenstellungen handelt es sich zumeist um Textaufgaben. Wir müssen also zunächst durch Textinterpretation ermitteln, welche der Variablen gegeben ist und welche Variable gesucht wird. Dies führt uns zu unterschiedlichen Berechnungsmethoden.
Berechnung des Endkapitals
Zur Berechnung des Endkapitals müssen die Variablen K0, q bzw. q1, q2,… qn sowie n gegeben sein.
Beispiel 1
Lösung 1
Beispiel 2
Lösung 2
Berechnung der Rate
Zur Berechnung der wiederkehrenden Rate müssen die Variablen Kn, q bzw. q1, q2,… qn sowie n gegeben sein.
Beispiel 3
Lösung 3
Beispiel 4
Lösung 4
Berechnung des Zinssatzes
Zur Berechnung des Zinssatzes bedarf es anderer Formeln als die oben Angeführten. Näheres findest du im Kapitel „Rentenrechnung“.
Berechnung des Anlagezeitraums
Zur Berechnung des Anlagezeitraums bedarf es anderer Formeln als die oben Angeführten. Näheres findest du im Kapitel „Rentenrechnung“.
Berechnung von Jahreszinsen
Manchmal ist es von Interesse, in welchem Sparjahr wieviel Zinsen verdient wurden. Hierzu müssen - wie bei der Berechnung des Endkapitals – die Variablen R, q bzw. q1, q2,…, qn sowie n gegeben sein. Wird nach verdienten Zinsen in einem bestimmten Jahr gefragt – z. B. im dritten Jahr – so berechnen wir dies über das Endkapital des dritten Jahres abzüglich des Endkapitals des 2. Jahres. Allerdings müssen wir vom Ergebnis dann noch einmal die Rate abziehen, die zu Beginn des dritten Jahres eingezahlt wurde.
Beispiel 5
Lösung 5
Beispiel 6
Lösung 6
Berechnung des Gesamtzinsertrages absolut und relativ
Es ist auch von Interesse zu wissen, wieviel Zinsen insgesamt verdient wurden und zwar absolut als auch relativ. Den absoluten Zuwachs (in €) ermitteln wir aus Zges=Kn-n⋅R. Den relativen Zuwachs (in %) ermitteln wir aus .
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der Zinsfaktor für das erste Jahr; q2 mit 
der Zinsfaktor für das zweite Jahr; q3 mit 
der Zinsfaktor für das dritte Jahr; … usw. bis qn mit 
der Zinsfaktor für das letzte Jahr der Anlage.
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